Bestäm basbytematris från E till B

Du kan dubbelkolla själv.

Tex vad blir P${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$? Blir det ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

PATENTERAMERA skrev:

Du kan dubbelkolla själv.

Tex vad blir P${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$? Blir det ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

Jag tror ej det för jag vet ej vad jag ska multiplicera matrisen med ?

Eller jag får [5 5]när jag multiplicerar matrisen med u och när jag multiplicerar med v får jag [5 10]

Och vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

PATENTERAMERA skrev:

Och vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

[u]B är väl [2 1] enligt uppgiften.

Nja, $\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$. Men vad är ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$? Dvs vad är vektorn $\overrightarrow{u}$:s koordinater relativt basen B?

PATENTERAMERA skrev:

Nja, $\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$. Men vad är ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$? Dvs vad är vektorn $\overrightarrow{u}$:s koordinater relativt basen B?

Ingen aning. Den är ej givet

Om $\overrightarrow{x}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ så är ${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$. Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

PATENTERAMERA skrev:

Om $\overrightarrow{x}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ så är ${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$. Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

Jag förstår ej riktigt hur du fick fram som du gjorde. Om jag ej har fel så är u väl [2 1] 

Vad är det som du inte förstår? Var fastnar du?

PATENTERAMERA skrev:

Vad är det som du inte förstår? Var fastnar du?

Jag förstår ej hur du kan skriva x i basen E som en linjär kombination av v och u? Och sen multiplicerar med okända konstanter som jag ej förstår varför du gör så. Sen undrar du vad vektorn u är i basen B. är det ej bara [2b1, b2]? 

Eftersom B är en bas så kan varje vektor $\overrightarrow{x}$ skrivas som en unik linjärkombination av vektorerna i B.

Dvs det finns unika skalärer a och b sådana att $\overrightarrow{x}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$. Vi kallar a och b för vektorn $\overrightarrow{x}$:s

koordinater/komponenter relativt basen B. Med notationen ${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B$ menar vi en kolonnvektor bestående av vektorn $\overrightarrow{x}$:s  koordinater relativt basen B. Dvs

${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$.

Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

PATENTERAMERA skrev:

Eftersom B är en bas så kan varje vektor $\overrightarrow{x}$ skrivas som en unik linjärkombination av vektorerna i B.

Dvs det finns unika skalärer a och b sådana att $\overrightarrow{x}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$. Vi kallar a och b för vektorn $\overrightarrow{x}$:s

koordinater/komponenter relativt basen B. Med notationen ${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B$ menar vi en kolonnvektor bestående av vektorn $\overrightarrow{x}$:s  koordinater relativt basen B. Dvs

${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$.

Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

det blir väl också något sånt. [u]B=c*u+d*u =[c d]

Jag vill ha ett exakt svar. Hur uttrycket du $\overrightarrow{u}$ som en linjärkombination av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$? Det finns bara ett sätt.

PATENTERAMERA skrev:

Jag vill ha ett exakt svar. Hur uttrycket du $\overrightarrow{u}$ som en linjärkombination av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$? Det finns bara ett sätt.

u=a*(2,1)+b*(1,3). Då gausar jag väl?

Ja så kan man göra men det är mycket enkelt att inse svaret.

$\overrightarrow{u}=1\overrightarrow{u}+0\overrightarrow{v}$.

Så vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

Vad blir ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$?

Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$?

PATENTERAMERA skrev:

Ja så kan man göra men det är mycket enkelt att inse svaret.

$\overrightarrow{u}=1\overrightarrow{u}+0\overrightarrow{v}$.

Så vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$?

Vad blir ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$?

Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$?

Hm jag vet ej hur man inser det som du gör ,men jag fick såhär a=1 och b=0 mha gaus

Så vad är svaret?

PATENTERAMERA skrev:

Så vad är svaret?

Svaret på vadå?

Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$? Och vad blir ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ och ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$?

PATENTERAMERA skrev:

Vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_B$? Och vad blir ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ och ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$?

uB=[1 0] och vB=[0 1]

Det är rätt, men man brukar skriva dem som kolonnvektorer i och för sig.

Och vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$?

Övning. Visa att det gäller generellt att

${\left[\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right]}_B$ = ${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B+{\left[\overrightarrow{y}\right]}_B$

${\left[c\overrightarrow{x}\right]}_B=c{\left[\overrightarrow{x}\right]}_B$

PATENTERAMERA skrev:

Det är rätt, men man brukar skriva dem som kolonnvektorer i och för sig.

Och vad blir ${\left[\overrightarrow{u}\right]}_E$?

  Vi vet ej vad basen E har för vektorer men antar att den har u och v så [u]E borde bara bli = [1 0]

E är standardbasen, enligt vad som står i uppgiften. Dvs

${\overrightarrow{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ och ${\overrightarrow{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

E är standardbasen, enligt vad som står i uppgiften. Dvs

${\overrightarrow{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ och ${\overrightarrow{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.

Precis. Sen kan man skriva dem som matris. Tack för hjälpen!

Facit håller ej med. Här är svaret och jag fattar ej varför de tar inversen.Jag trodde det räckte med P= [1  0

0   1] , men det är ej rätt..

Men varför tror du att P skall vara lika med enhetsmatrisen? Då skulle ju de två baserna vara lika.

Notera den matris som du skrev först (#1) är $P_{B\to E}$, dvs basbytesmatrisen från B till E. Men det som efterfrågas är $P_{E\to B}$, dvs basbytesmatrisen från E till B.

Det finns ett samband mellan dessa matriser. Kan du lista ut vilket det är?

PATENTERAMERA skrev:

Men varför tror du att P skall vara lika med enhetsmatrisen? Då skulle ju de två baserna vara lika.

Notera den matris som du skrev först (#1) är $P_{B\to E}$, dvs basbytesmatrisen från B till E. Men det som efterfrågas är $P_{E\to B}$, dvs basbytesmatrisen från E till B.

Det finns ett samband mellan dessa matriser. Kan du lista ut vilket det är?

Nej jag kan ej lista ut det. Men jag multiplicerade standardbasen med basen B och fick nu som facit. Det blev gaus för att komma dit.

OK, förstår inte riktigt hur du menar. Annars är det så att $P_{E\to B}=P_{B\to E}^{-1}$.

Så ett sätt att lösa den är att invertera $P_{B\to E}$, vilket är vad facit gör.

PATENTERAMERA skrev:

OK, förstår inte riktigt hur du menar. Annars är det så att $P_{E\to B}=P_{B\to E}^{-1}$.

Så ett sätt att lösa den är att invertera $P_{B\to E}$, vilket är vad facit gör.

Ja det var så jag tänkte, dvs standardbasen E med sina kolonner lika med Basen B och så gausar man tills man får standardbasen på högerledet och basbytematrisen på vänsterledet.

Ja, det borde ge inversen.

 Men förstår du varför $P_{B\to E}$ = $\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{u}& \overrightarrow{v}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$?

Förstår du varför $P_{E\to B}$ är inversen till $P_{B\to E}$?

Om inte, så läs på i lärobok så att du förstår definitioner, notation och varför det blir som det blir.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, det borde ge inversen.

 Men förstår du varför $P_{B\to E}$ = $\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{u}& \overrightarrow{v}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$?

Förstår du varför $P_{E\to B}$ är inversen till $P_{B\to E}$?

Om inte, så läs på i lärobok så att du förstår definitioner, notation och varför det blir som det blir.

Jag sålde bort kursboken. Jag förstår att  B består av dessa vektorer span( 2 1, och 1,3). Inversen till B kan man lätt undersöka mha determinaten och hitta dess invers. Är den kvadratisk så är den inverterbar