Bestäm bas till abstrakta vektorrum (Matematik/Universitet)

Det enklaste sättet tror jag helt enkelt är att ställa upp ekvationen $AB=BA$ för $B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ , och lösa för B. Du får fyra ekvationer, en för varje element i produktmatrisen. Bestäm sedan en bas för lösningen.

Hur kommer min bas att se ut? 4 små matriser?

dajamanté skrev:
Hur kommer min bas att se ut? 4 små matriser?

Förutsatt att rummet är 4-dimensionellt, ja. (Och små i meningen att de också är av 2x2-typ)

SeriousCephalopod skrev:
dajamanté skrev:
Hur kommer min bas att se ut? 4 små matriser?
Förutsatt att rummet är 4-dimensionellt, ja. (Och små i meningen att de också är av 2x2-typ)

Jag borde inte lita på min intuition, men dimensionen är väl 4 för hela rummet av 2x2-matriser? Då känns det inte som om underrummet också kan ha dimension 4. När jag räknar enligt tipset ser jag ut att få dimension 2 också (vilket inte automatiskt betyder att min känsla var rätt). Alltså två små matriser. Eller har jag missförstått dimensionsbegreppet?

Även om haralds metod är den enklaste och förmodligen även beräkningstekniskt effektivaste kan man även alltid fundera på om man kan använda egenvektorer till något finurligt då det ju ofta finns en egenvärdeslösning parallellt med en gauss-typ-lösnning.

Låt oss ha två egenvektorer

$A v_1 = \lambda_1 v_1$

$A v_2= \lambda_2 v_2$

vilka vi kan bestämma när vi vill och lite naivt stoppa in dem i kommuteringsrelationen och se vad vi får.

$BAv_1 = B(\lambda _1 v_1) = \lambda_1 (B v_1)$ ska vara samma som

$A B v_1 = A (B v_1)$

och från detta kan vi faktiskt se att $B v_1$ måste vara en egenvektor till A med egenvärde $\lambda_1$ och således en multipel av $v_1$ med något skalningsfaktor $c_1$

$B v_1 = c_1 v_1$ .

Men ooops! Detta får det ju att se ut som att $v_1$ också är en egenvektor till $B$ men med någon obestämt egenvärde!

Detta föranleder slutsatsen att kommutering har något med att ha gemensamma egenvektorer. Specifikt att B ska ha samma egenvektorer men inte nödvändigtvis samma egenvärde och dessa egenvärden är de fria parametrarna för B. Från detta drar vi slutsatsen att B-rummet är tvådimensionellt för övrigt.

Sedan hur man går från denna slutsats till att ta fram en faktisk bas är en annan exercis.

Laguna skrev:
SeriousCephalopod skrev:
dajamanté skrev:
Hur kommer min bas att se ut? 4 små matriser?
Förutsatt att rummet är 4-dimensionellt, ja. (Och små i meningen att de också är av 2x2-typ)
Jag borde inte lita på min intuition, men dimensionen är väl 4 för hela rummet av 2x2-matriser? Då känns det inte som om underrummet också kan ha dimension 4. När jag räknar enligt tipset ser jag ut att få dimension 2 också (vilket inte automatiskt betyder att min känsla var rätt). Alltså två små matriser. Eller har jag missförstått dimensionsbegreppet?

Det är korrekt. Eftersom matrismultiplikation generellt inte är kommutativt kommer underrummet inte innehålla hela rummet av $2\times2$ -matriser.

Vad jag tror SeriousCephalopod menade var "Ifall rummet skulle varit fyrdimensionellt, ja".

Samtidigt som jag är otroligt tacksam för dessa intelligenta och utvecklade svar, känner jag som att mitt hjärna håller på att dö från linjär algebra. Jag förstår varje ord i vad SparklinglyIntelligent Octopus skriver -och varje ord i Albins och Laguna svar, men när jag sätter alla ord tillsammans blir det gröt. Och grät.

Men iaf ni har rätt, svaret är 2 dimensionnell med två stycken 2*2 matriser:

Sista fråga innan jag går och dör nånstans. Hur kan dem bryta en 4 koordinatvektor till en 2*2 matris?? Hur kan detta vara även algebra-approved?

När man definierar $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ väljer man att det skall vara elementen i en $2\times2$ -matris. Alltså är vektorn $(a,b,c,d)$ i själva verket matrisen

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

Då går det att skriva om vektorn $(-1,1,2,0)$ som:

$\begin{pmatrix}-1&1\\2&0\end{pmatrix}$

AlvinB skrev:
När man definierar $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ väljer man att det skall vara elementen i en $2\times2$ -matris. Alltså är vektorn $(a,b,c,d)$ i själva verket matrisen
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
Då går det att skriva om vektorn $(-1,1,2,0)$ som:
$\begin{pmatrix}-1&1\\2&0\end{pmatrix}$

Jag skulle säga "representera", inte "är", så slipper jag förklara hur en fyra-vektor kan delta i ett rum av 2x2-matriser. Men är alla med på att "är" fungerar så är jag det också.

Ok, bara att plugga mer...