Bestäm avbildningsmatrisen för F i standardbasen

Börja med att repetera vilka egenskaper linjära avbildningar har. Jämför beteckningarna med din uppgift.

Standardsättet att ta reda på hur avbildningens matris ser ut är att studera hur basvektorerna avbildas.

Du vill alltså veta hur vektorerna $e_x=(1,0,0),\, e_y=(0,1,0)$ samt $e_z=(0,0,1)$ avbildas.

Genom att använda egenskaper för linjära avbildningar kan du pussla ihop $F(0,1,0)$ osv.

Vi ser att F(1,0,1)=2,1,0 och F(1,0,0) =1,0,1.  Ska man ej ta( 0,10)-proj(1,0,0)(0,1,0)?

För en linjär avbildning $F:\, \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ gäller att den är homogen och additiv

$F(r\mathbf{u}+s\mathbf{v})=rF(\mathbf{u})+sF(\mathbf{v})$

Mer allmänt gäller detta för alla linjära avbildningar $V\to W$ med skalärer $r,s\in \mathbb{R}$ och vektorer $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, inte bara linjära operatorer på $\mathbb{R}^3$. Se din bok för den definition ni använder. Hursomhelst kan vi använda denna egenskap enligt

$F(\mathbf{u}-\mathbf{v})=F\left((1,0,1)-(1,0,0)\right)= F(1,0,1)-F(1,0,0)$

$F\left((0,0,1)\right)=(2,1,0)-(1,0,1)=(1,1,-1)$

Nu vet vi alltså hur basvektorn $(0,0,1)$ avbildas. Hur basvektorn $(1,0,0)$ avbildas framgår direkt i uppgiftstexten. Kan du klura ut hur $(0,1,0)$ avbildas? Använd det du får veta om $\vec{u}=(1,1,-1)$.

D4NIEL skrev:

För en linjär avbildning $F:\, \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ gäller att den är homogen och additiv

$F(r\mathbf{u}+s\mathbf{v})=rF(\mathbf{u})+sF(\mathbf{v})$

Mer allmänt gäller detta för alla linjära avbildningar $V\to W$ med skalärer $r,s\in \mathbb{R}$ och vektorer $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, inte bara linjära operatorer på $\mathbb{R}^3$. Se din bok för den definition ni använder. Hursomhelst kan vi använda denna egenskap enligt

$F(\mathbf{u}-\mathbf{v})=F\left((1,0,1)-(1,0,0)\right)= F(1,0,1)-F(1,0,0)$

$F\left((0,0,1)\right)=(2,1,0)-(1,0,1)=(1,1,-1)$

Nu vet vi alltså hur basvektorn $(0,0,1)$ avbildas. Hur basvektorn $(1,0,0)$ avbildas framgår direkt i uppgiftstexten. Kan du klura ut hur $(0,1,0)$ avbildas? Använd det du får veta om $\vec{u}=(1,1,-1)$.

Varför subtraherar du varandra? Och varför är den nya x (0,0,1)?

Vi vill veta vad $F((0,0,1))$ är

Vi vet vad $F((1,0,0))$ och $F((1,0,1))$ är.

Om vi subtraherar $(1,0,1)-(1,0,0)$ får vi $(0,0,1)$.

Alltså kan vi räkna ut vad $F((0,0,1))$ är genom att använda definitionen av linjära transformationer.

D4NIEL skrev:

Vi vill veta vad $F((0,0,1))$ är

Vi vet vad $F((1,0,0))$ och $F((1,0,1))$ är.

Om vi subtraherar $(1,0,1)-(1,0,0)$ får vi $(0,0,1)$.

Alltså kan vi räkna ut vad $F((0,0,1))$ är genom att använda definitionen av linjära transformationer.

Ok

Hur får jag (0,1,1)? Vad är den ekvivalent med?