Bestäm avbildningsmatrisen f med avseende på standardbasen och basen av im(f) (Matematik/Universitet)

Jag tror det är tänkt att avbildningen är linjär. Därmed kan du till exempelstudera hur standarbasen för $\mathbb{R}^3$ avbildas genom att utnyttja en linjär egenskap hos avbildningen.

D4NIEL skrev:
Jag tror det är tänkt att avbildningen är linjär. Därmed kan du till exempelstudera hur standarbasen för $\mathbb{R}^3$ avbildas genom att utnyttja en linjär egenskap hos avbildningen.

Studera hur då? Söker de typ f[ 00 0 1]=? f[1 0 0 0] =? Och f([ 0 010]) som vi fått från a) uppgiften?

Först måste du väl ta fram basen B. Har du gjort det?

PATENTERAMERA skrev:
Först måste du väl ta fram basen B. Har du gjort det?

I a) ja om vi pratar imf(B)?

För att få första kolonnen i din matris så skall du hitta koordinterna i basen B för vektorn $f ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}])$ . Och så vidare för de andra vektrorerna i standardbasen.

PATENTERAMERA skrev:
För att få första kolonnen i din matris så skall du hitta koordinterna i basen B för vektorn $f ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}])$ . Och så vidare för de andra vektrorerna i standardbasen.

Var kommer [1 0 0] ifrån? är det standardbasen? Så jag vill gå från basen i standardbasen till basen B?

Ja, standardbasen för R³ är (1 0 0)^T, (0 1 0)^T, (0 0 1)^T.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, standardbasen för R³ är (1 0 0)^T, (0 1 0)^T, (0 0 1)^T.

Okej så vi ska hitta koordinaterna ( ab c ) i basen B dvs T( e1, e,2,e3) *X= B(basen B)?

Om vi kallar vektorerna i standardbasen ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}$ och vektorerna i basen B ${\vec{b}}_{1}, {\vec{b}}_{2}, {\vec{b}}_{3}$ .

Det gäller då för matrisen, kalla den M, att

$f ({\vec{e}}_{j}) = \sum_{k} M_{k j} {\vec{b}}_{k}$ .

Vi kan skalärmultiplicera båda led med ${\vec{b}}_{i}$ och utnyttja att B är en ON-bas.

${\vec{b}}_{i} ∙ f ({\vec{e}}_{j}) = \sum_{k} M_{k j} {\vec{b}}_{k} ∙ {\vec{b}}_{i} = \sum_{k} M_{k j} δ_{k i} = M_{i j}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Om vi kallar vektorerna i standardbasen ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}$ och vektorerna i basen B ${\vec{b}}_{1}, {\vec{b}}_{2}, {\vec{b}}_{3}$ .

Det gäller då för matrisen, kalla den M, att

$f ({\vec{e}}_{j}) = \sum_{k} M_{k j} {\vec{b}}_{k}$ .

Vi kan skalärmultiplicera båda led med ${\vec{b}}_{i}$ och utnyttja att B är en ON-bas.

${\vec{b}}_{i} ∙ f ({\vec{e}}_{j}) = \sum_{k} M_{k j} {\vec{b}}_{k} ∙ {\vec{b}}_{i} = \sum_{k} M_{k j} δ_{k i} = M_{i j}$ .

Jag hänger tyvärr inte med. Bara att M är en basbytematris tror jag och att B är ON basen? Frågan är vad f( 1 0 0) är osv ?

M är avbildningsmatrisen till f. Map standardbasen och basen B.

Ja, en av de saker som du måste räkna ut är hur f avbildar vektorerna i standardbasen. Utnyttja att du vet hur f avbildar tre givna vektorer i R³. Hur kan tex (1 0 0)^T uttryckas med hjälp de givna vektorerna?

PATENTERAMERA skrev:
M är avbildningsmatrisen till f. Map standardbasen och basen B.

Ja, en av de saker som du måste räkna ut är hur f avbildar vektorerna i standardbasen. Utnyttja att du vet hur f avbildar tre givna vektorer i R³. Hur kan tex (1 0 0)^T uttryckas med hjälp de givna vektorerna?

f(1 0 0)=1 0 0?

Du vet hur funktionen f avbildar vektorerna $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ , $[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ , $[\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}]$ . Vi antar att funktionen är linjär, annars makar uppgiften ingen sense.

Uttryck (1 0 0)^T som en linjärkombination av vektorerna ovan och utnyttja linjäriteten hos f för att räkna ut f((1 0 0)^T). Sedan får du göra på liknande sätt med de andra vektorerna i standardbasen.

Tillägg: 21 nov 2024 19:50

PATENTERAMERA skrev:
Du vet hur funktionen f avbildar vektorerna $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ , $[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ , $[\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}]$ . Vi antar att funktionen är linjär, annars makar uppgiften ingen sense.

Uttryck (1 0 0)^T som en linjärkombination av vektorerna ovan och utnyttja linjäriteten hos f för att räkna ut f((1 0 0)^T). Sedan får du göra på liknande sätt med de andra vektorerna i standardbasen.

Tillägg: 21 nov 2024 19:50

Jag har lite svårt att hänga med på vad jag ska räkna ut. (a , b ,c) är alltså outputen för f( 1 0 0 ) ? vad menas med linjäriteten hos f?

Nej, det är koordinaterna för vektorn (1 0 0)^T om man uttrycker den i de givna vektorerna.

Tillägg: 21 nov 2024 20:03

PATENTERAMERA skrev:
Nej, det är koordinaterna för vektorn (1 0 0)^T om man uttrycker den i de givna vektorerna.

varför ska man räkna ut koordinater uttryckt i de givna vektorerna? är det för att man vill komma till f( 1 0 0 ) = [...]?

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, precis.

jag gjorde gauseliminering för att få ut ( a,b, c)

Ja, det går bra.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, det går bra.