Bestäm Avbildningsmatrisen A

Hej pluggakuten! Har kört fast på en uppgift som rör koordinatbyten och linjära avbildningar.

Frågan lyder :

"Bestäm avbildningsmatrisen A för den linjära avbildning som svarar mot rotation med vinkeln $\frac{π}{2}$ radianer kring linjen
(x,y,z)=t(-2,2,-1), $t \in ℝ$ . Rotationen sker i positiv riktning sett från spetsen av vektorn (-2,2,-1)."

Det finns lite ledning till uppgiften där det föreslås att man ska göra ett basbyte till en positivt orienterad ortonormerad bas ê₁,ê_2,ê_3,där ê3 = $\frac{1}{3} (- 2, 2, - 1)$

Då rotationen sker kring vektorn (-2,2,-1) så tänker jag mig denna vektor som en normalvektor mot det plan däri rotationen sker. Detta plan spänns upp av två vektorer som är ortogonala mot den tidigare angivna vektorn.

ê₁ och ê₂ är ortogonala mot varandra och mot ê_3.Jag vill då först ha en vektor som ger skalärprodukten 0 med ê₃.

$\frac{1}{3} (- 2, 2, - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0) = 0$

ê₁= $\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0) = 0$

ê₂ ska vara ortogonal mot både ê₁ och ê₃, samtidigt ska basen vara positivt orienterad det ger att ê₃x ê₁ ger vektorn vi söker.

ê₃ x ê₁= $\frac{1}{3 \sqrt{2}} (1, - 1, - 4)$

Jag tänker mig att vi får en situation som ser ut så här:

Och där tar det helt stopp för mig. Jag har ingen aning om hur jag ska fortsätta härifrån. Det är meningen att jag ska plocka fram Â och därifrån sedan plocka fram A. Men jag får inte alls rätt på det efter den här punkten!

Tack så mycket och trevlig kväll!!

Tycker det ser bra ut. Konstruera nu en basbytesmatris $T$ som som uppfyller

$x=T\hat{x}$

Ledning:

Visa spoiler

Ts kolonner ska bestå av de nya basvektorerna uttryckta i den gamla basen.

En linjär avbildning som vrider något 90° moturs i två dimensioner ges av (försök själv först)

Visa spoiler

$\left[\begin{array}{cc}0&-1 \\1&0 \end{array}\right]$

Det kan du t.ex. klura ut genom att studera hur enhetsvektorerna transformeras: (1,0)->(0,1) och (0,1)->(-1,0). I tre dimensioner blir det

$\hat{A}=\left[\begin{array}{ccc}0&-1&0 \\1&0 &0\\ 0 &0 &1 \end{array}\right]$

För en godtycklig rotation kring z-axeln gäller:

$R_{\theta}=\left[\begin{array}{ccc}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0 \\\sin(\theta)&\cos(\theta) &0\\ 0 &0 &1 \end{array}\right]$

När du klurat ut hur $\hat{A}$ ska se ut ges ditt sökta $A=T\hat{A}T^t$ , vilket är transformationslagen för en linjär avbildning.

Du kan också klura ut ovanstående formel genom att tänka så här:

Visa spoiler

Först transformerar vi en vektor tilll den nya basen $\hat{x}=T^tx$

Sedan roterar vi den i den nya basen: $\hat{A}T^tx$

Slutligen transformerar vi tillbaka vektorn till vårt ursprungliga koordinatsystem: $T\hat{A}T^tx$

Operationen vi ska utföra på $x$ är alltså $T\hat{A}T^t$

Ahh tack så hemskt mycket!
Om jag inte tänker helt fel går det nästan att se hur baserna ser ut efter rotation bara genom att titta på bilden och vrida 90 $°$ .

efter rotation så får ê₁ det värde som ê₂ tidigare hade och ê₂ = -ê₁(tidigare värde).
Tack så mycket det lossnade verkligen nu!

Svara