Bestäm asymptoterna till följande (Matematik/Matte 4/Grafer och asymptoter)

Vad menar du?

Jag behöver bestämma asymptoterna till dom där två funktionerna. Hur gör jag?

a) Funktionen har en lodrät asymptot med ekvationen x = -5, vilket är tydligt när man ser på ekvationerna eftersom man får noll i nämnaren vid x = -5.

b) Funktionen har en sned asymptot med ekvationen y = -x -3, detta beror på att:

$\lim_{x \to \infty} (g (x) - (k x + m)) = 0$

k och m för asymptoten kan räknas ut genom gränsvärdena:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{g (x)}{x} m = \lim_{x \to \infty} (g (x) - k x)$

Formlerna kan användas för alla sneda asymptoter.

ilovechocolate skrev:
Så jag behöver hjälp med dessa. Ibland förstår jag mig på asymptoter och ibland inte. Men typ som här...

Kom fram i a) iaf att x=-5. Hur får jag reda på y? Trodde att y skulle vara x-2 men så enkelt var det inte... ☹️

det stämmer om kvoten hade gått mot 0 men det gör den inte, vad händer med kvoten?

Båda funktionerna har två asymptoter, en lodrät och en sned. Den lodräta finns där eftersom båda funktionerna är odefinierade för något x-värde. Den sneda asymptoten finns där eftersom funktionerna börjar bete sig som räta linjer då x går mot oändligheten.

Om du vill hitta den lodräta asymptoten för en rationell funktion ska du hitta det x-värde för vilket kvoten blir odefinierad. För en sned asymptot ska du använda formlerna ovan för att räkna ut k och m.

Okej. Börjar förstå lite. Kan ni guida mig igenom uppgiften?

t.ex. i a), jag vet att x=-5 då funktionen inte är definierad för -5 för då blir nämnaren 0. Hur får jag fram y? Y ska vara en rät linje. Hur kommer jag fram till vilka värden den räta linjen har? Ska jag använda derivata?

För att beräkna den andra asymptoten kan du använda dig av följande formler:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} m = \lim_{x \to \infty} (f (x) - k x)$

Detta beror på att den andra asymptoten är sned, så den kommer att vara i formen y = kx + m.

Okej, det är en sned asymptot.

För att få fram k så ska jag göra såhär?

Kan mycket väl ha gjort fel i nämnaren...

Det är en omväg eftersom de redan serverat dig uppgiften i princip. Vad kommer hända med uttrycket när $x \rightarrow \infty$ ? Det jobbigaste här är att inse vad kvoten går mot, där är det lämpligt att bryta ut den dominerande faktorn, sedan är man i princip klar.

Sedan stämmer inte det du skrivit ovan, det är inte likhet, speciellt inte eftersom du inte har med lim efter varje likhet.

Det finns olika sätt att hitta asymptoten till y = f(x), då x går mot oändlighet. Ett sätt är att försöka skriva om f(x) så att

f(x) = ax + b + r(x), där r(x) går mot noll då x går mot oändlighet. Om det går så är asymptoten y = ax +b.

I vårt fall har vi

f(x) = $\frac{5 x}{x + 5} + x - 2$ = $5 \frac{x + 5 - 5}{x + 5} + x - 2 = 5 - \frac{25}{x + 5} + x - 2 = x + 3 - \frac{25}{x + 5}$ .

r(x) = -25/(x+5) går mot noll då x går mot oändlighet, så asymptoten är y = x + 3.

Jag är ledsen, men jag fattar verkligen ingenting...😞

Vad är det du ej förstår?

Okej.

Asymptoter förekommer vid definitionsmängdens gränser eller vid vissa punkter där funktionen är odefinierad. Ett exempel är funktionen 1/x, som är odefinierad för x = 0, vilket är dess asymptot. För rationella funktioner i formen r(x), vilket är ett rationellt uttryck som 5x/4x+3 så kommer det att finnas en asymptot när nämnaren blir 0. I 5x/4x+3 är det vid x = -3/4 (du kan testa det ).

Men en rationell funktion kan ha fler termer än det rationella uttrycket, då blir den på formen f(x) = r(x) + p(x), där p(x) är en linjär funktion. I sådana fall kan funktionen ha en eller fler asymptoter. Om du vill ta reda på funktionens asymptot ska du förenkla funktionen så att f(x) = r(x) + p(x) så att r(x) ska ha en täljare av lägre grad än nämnaren (alltså att termen med den högsta exponenten i täljaren ska ha en lägre exponent än termen med den högsta exponenten i nämnaren). När du gjort det ska du ta gränsvärdet av funktionen där går mot oändligheten, för då blir det rationella uttrycket 0 och du får bara p(x), som är asymptoten.

Något som är bra att förstå om asymptoter är att de visar hur funktionen beter runt vissa värden i definitionsmängden. Om du exempelvis tar funktionen 1/x och dess asymptot x = 0 så kan du se att graferna kommer väldigt nära varandra när x går mot noll. Så du kan tänka dig att dessa grafer är lika för x-värden nära 0. De sneda eller vågräta asymptoterna visar istället ofta hur funktionen beter sig när x går mot oändligheten eller - oändligheten. Om du ritar 5x/(x+5) + x-2 tillsammans med dess asymptot kommer du att se att funktionen och asymptoten kommer väldigt nära varandra när x går mot oändligheten eller - oändligheten.

Jag hoppas att du har fått en djupare förståelse för asymptoter nu, trots att det mesta av det jag sa förmodligen är fel. :)

Tack för förklaringen. Jag förstår vad asymptoter är. Men vid sånna här funktioner har jag svårt att förstå hur man bestämmer x och y. X är ofta enkelt att bestämma då det egentligen bara är att titta på nämnaren och då avgöra vilket/vilka x som inte är definierade för funktionen. Men y är mycket klurigare att lista ut. Som exempelvis PATENTERAMERAs förklaring. Förstår inte hur det gick till där...

Vid fall där du har en linjär funktion bredvid det rationella uttrycket ska du förenkla det rationella uttrycket så att täljaren får en högre grad än nämnaren, alltså så att uttrycket ska gå mot 0 när x går mot oändligheten, så att du får en linjär funktion efter att du låtit uttrycket bli 0. För då får du den sneda asymptotens ekvation.

Ett annat sätt är att låta $f$ gå mot oändligheten, kvoten går mot 5, så att $f$ går mot 5+x-2=x+3 när $x \rightarrow \infty$ Vilket är den sneda asymptoten vi söker. Man kan också lägga allt på samma bråkstreck och köra poldiv.

Det PATENTERAMERA gjorde ovan var att lägga till och dra bort +5 vilket inte ändrar uttrycket. Med hjälp av detta kunde man då splittra bråket så att det är på form $f(x)=ax+b+r(x)$ . Detta är förmodligen den snabbast metoden men det är inte alltid lätt att veta vad man ska addera och subtrahera för att kunna splittra bråket.