Bestäm asymptot

Ange alla asymptoter till $y=x{e}^{-\frac{1}{x}}$

En asymptot är ju uppenbarligen x=0 eftersom det då blir division med noll. Men har problem att hitta den sneda asymptotet y=kx+m.

För att beräkna k så använder jag formeln:
$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\cancel{x}{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{x}}}}{\cancel{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-\frac{1}{x}}=e^0=1$

Detta stämmer med facit.

Problemen blir när jag ska ta fram m-värdet.

För det finns formeln $$\begin{gathered} m=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\right(x)-kx)=\underset{x\to \infty }{\lim }(x{e}^{-\frac{1}{x}}-1·x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x\right(e^{-\frac{1}{x}}-1\left)\right)= \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left(x\right)·\underset{x\to \infty }{\lim }(e^{-\frac{1}{x}}-1)=\infty ·(e^0-1)=\infty ·(1-1)=\infty ·0=0 \end{gathered}$$

Jag ser inget fel med det jag gör för att beräkna att m är 0. Men enligt facit (och kontroll med räknare) så är asymptoten y=x-1, alltså m=-1.

Hur går detta till?