Bestäm arean av parallellogramet

30. Parallellogrammen ABCD har sidlängder 5 cm och 3 cm, och vinkel mellan diagonalerna 45 grader. Beräkna parallellogrammens area och ange den i mm2.

Det här har jag gjort hitills, men det måste finnas ett snabbare sätt att lösa uppgiften på.

Jag börjar med utgångspunkten att om diagonalerna redan delar upp parallellogrammet i trianglar med kända hörnvinklar så kan det vara värt att använda areasatsen (ab sin(C) / 2) för att formulera ett uttryck för arean för att ge mig insikter om vilka storheter det är som jag behöver ta reda på för att bestämma arean.

Den vänstra triangelns area kan skrivas som

$A_{1} = \frac{\frac{d_{1}}{2} \frac{d_{2}}{2} \sin (45 °)}{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{8 \sqrt{2}}$

där vi alltså tog 45 grader som den mellanliggande vinkeln och halva diagonalerna som de angränsande sidorna. På samma vis får vi arean för den nedre triangeln med bas 5 till

$A_{2} = \frac{\frac{d_{1}}{2} \frac{d_{2}}{2} \sin (135 °)}{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{8 \sqrt{2}}$

Här får vi från början en intressant aspekt man skulle kunna utforska mer och det är att de två trianglarna har samma area men jag kommer faktiskt inte att utnyttja det. Tar vi den totala arean som summan av de fyra trianglarnas areor får vi

$A = 2 A_{1} + 2 A_{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}}$

Poängen här ar alltså att om vi kan bestämma diagonalerna eller helt enkelt diagonalernas produkt så skulle vi direkt kunna beräkna arean.

I det här läget så funderar jag på var i trigonometrin jag kan komma ihåg uttryck där produkten av två sidor $d_{1} d_{2}$ förekommer och som jag därmed skulle kunna använda för att bestämma produkten. Den enda som egentligen har produkter i sig är areasatsen (men den har vi ju redan använt) och en av termerna i cosinussatsen.

Genom att betrakta samma trianglar som för areorna kan jag ställa upp följande uttryck med cosiunssatsen

$5^{2} = (d_{1} / 2)^{2} + (d_{2} / 2)^{2} - 2 (d_{1} / 2) (d_{2_{}} / 2) \cos (135 °)$

$3^{2} = (d_{1} / 2)^{2} + (d_{2} / 2)^{2} - 2 (d_{1} / 2) (d_{2} / 2) \cos (45 °)$

eller förenklat

$5^{2} = \frac{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}{4} + \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}}$

$3^{2} = \frac{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}{4} - \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}}$

Ur dessa två ekvationer kan jag extrahera produkten $d_1 d_2$ genom att ta skillnaden mellan dem eftersom detta kommer att radera $d_{1}^{2} + d_{1}^{2}$ ur uttrycket

$5^{2} - 3^{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{\sqrt{2}}$

och därefter lösa ut

$\sqrt{2} (5^{2} - 3^{2}) = d_{1} d_{2}$

vilket injicerat i areaformeln från tidigare ger

$A = \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (5^{2} - 3^{2})}{2 \sqrt{2}} = \frac{5^{2} - 3^{2}}{2}$

(Med viss reservation för att ha missat någon division eller faktor med 2 någonstans)

Iochmed att slutsvaret har en så pass enkel form så är jag dugligt säker på att det förmodligen går att göra någon tricklösning också där man geometriskt skär sönder figuren och flyttar runt saker men metoden ovan fungerar i princip oavsett vilka diagonalvinklar vi har.

SeriousCephalopod skrev :
Jag börjar med utgångspunkten att om diagonalerna redan delar upp parallellogrammet i trianglar med kända hörnvinklar så kan det vara värt att använda areasatsen (ab sin(C) / 2) för att formulera ett uttryck för arean för att ge mig insikter om vilka storheter det är som jag behöver ta reda på för att bestämma arean.
Den vänstra triangelns area kan skrivas som
$A_{1} = \frac{\frac{d_{1}}{2} \frac{d_{2}}{2} \sin (45 °)}{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{8 \sqrt{2}}$
där vi alltså tog 45 grader som den mellanliggande vinkeln och halva diagonalerna som de angränsande sidorna. På samma vis får vi arean för den nedre triangeln med bas 5 till
$A_{2} = \frac{\frac{d_{1}}{2} \frac{d_{2}}{2} \sin (135 °)}{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{8 \sqrt{2}}$
Här får vi från början en intressant aspekt man skulle kunna utforska mer och det är att de två trianglarna har samma area men jag kommer faktiskt inte att utnyttja det. Tar vi den totala arean som summan av de fyra trianglarnas areor får vi
$A = 2 A_{1} + 2 A_{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}}$
Poängen här ar alltså att om vi kan bestämma diagonalerna eller helt enkelt diagonalernas produkt så skulle vi direkt kunna beräkna arean.
I det här läget så funderar jag på var i trigonometrin jag kan komma ihåg uttryck där produkten av två sidor $d_{1} d_{2}$ förekommer och som jag därmed skulle kunna använda för att bestämma produkten. Den enda som egentligen har produkter i sig är areasatsen (men den har vi ju redan använt) och en av termerna i cosinussatsen.
Genom att betrakta samma trianglar som för areorna kan jag ställa upp följande uttryck med cosiunssatsen
$5^{2} = (d_{1} / 2)^{2} + (d_{2} / 2)^{2} - 2 (d_{1} / 2) (d_{2_{}} / 2) \cos (135 °)$
$3^{2} = (d_{1} / 2)^{2} + (d_{2} / 2)^{2} - 2 (d_{1} / 2) (d_{2} / 2) \cos (45 °)$
eller förenklat
$5^{2} = \frac{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}{4} + \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}}$
$3^{2} = \frac{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}{4} - \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}}$
Ur dessa två ekvationer kan jag extrahera produkten $d_1 d_2$ genom att ta skillnaden mellan dem eftersom detta kommer att radera $d_{1}^{2} + d_{1}^{2}$ ur uttrycket
$5^{2} - 3^{2} = \frac{d_{1} d_{2}}{\sqrt{2}}$
och därefter lösa ut
$\sqrt{2} (5^{2} - 3^{2}) = d_{1} d_{2}$
vilket injicerat i areaformeln från tidigare ger
$A = \frac{d_{1} d_{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (5^{2} - 3^{2})}{2 \sqrt{2}} = \frac{5^{2} - 3^{2}}{2}$
(Med viss reservation för att ha missat någon division eller faktor med 2 någonstans)
Iochmed att slutsvaret har en så pass enkel form så är jag dugligt säker på att det förmodligen går att göra någon tricklösning också där man geometriskt skär sönder figuren och flyttar runt saker men metoden ovan fungerar i princip oavsett vilka diagonalvinklar vi har.

Tack så hjärtligt!

Svara