Bestäm arean av det skuggade området

Är du med på att

$-\ln \dfrac{1}{2}=\ln 2$

?

En area är positiv, medan en integral kan vara negativ. Hur ska du göra med tecknet när kurvan är under x-axeln?

Dr. G skrev:

Är du med på att

$-\ln \dfrac{1}{2}=\ln 2$

?

En area är positiv, medan en integral kan vara negativ. Hur ska du göra med tecknet när kurvan är under x-axeln?

jag vet inte riktigt, skulle du kunna visa omskrivningen av uttrycket? 

Det är rätt att dela upp integralen i två. 

När funktionen är helt under x-axeln på ett intervall så är arean mellan x-axel och kurva minus integralens värde (eller absolutbeloppet av integralens värde om du vill).

Dr. G skrev:

Det är rätt att dela upp integralen i två. 

När funktionen är helt under x-axeln på ett intervall så är arean mellan x-axel och kurva minus integralens värde (eller absolutbeloppet av integralens värde om du vill).

menar du att jag ska räkna med att arean under kurvan mellan ln 2 och 2 är positivt? 

En area är alltid positiv.

När du beräknar värdet av integralen från ln(2) till 2 så kommer du att få ett negativt resultat eftersom grafen där ligger helt under x-axeln.

Motsvarande area är lika med integralens värde med omvänt tecken.

===== Tips ====

Ett bra generellt sätt att tänka är att arean mellan två grafer är lika med integralen av den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen.

I ditt exempel är de två funktionerna $y=2e^{-x}-1$ och $y=0$ (dvs x-axeln).

I intervallet $0$ till $\ln(2)$ så är $y = 2e^{-x}-1$ den "övre" funktionen och $y = 0$ den undre funktionen. Den arean blir alltså

$\int_{0}^{\ln(2)}((2e^{-x}-1)-(0))\operatorname dx=$

$=\int_{0}^{\ln(2)}(2e^{-x}-1)\operatorname dx$

I intervallet $\ln(2)$ till $2$ så är $y = 0$ den "övre" funktionen och $y = 2e^{-x}-1$ den "undre" funktionen. Den arean blir alltså

$\int_{\ln(2)}^{2}((0)-(2e^{-x}-1))\operatorname dx=$

$=\int_{\ln{2}}^{2}-(2e^{-x}-1)\operatorname dx=$

$=-\int_{\ln(2)}^{2}(2e^{-x}-1)\operatorname dx$

Yngve skrev:

En area är alltid positiv.

När du beräknar värdet av integralen från ln(2) till 2 så kommer du att få ett negativt resultat eftersom grafen där ligger helt under x-axeln.

Motsvarande area är lika med integralens värde med omvänt tecken.

===== Tips ====

Ett bra generellt sätt att tänka är att arean mellan två grafer är lika med integralen av den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen.

I ditt exempel är de två funktionerna $y=2e^{-x}-1$ och $y=0$ (dvs x-axeln).

I intervallet $0$ till $\ln(2)$ så är $y = 2e^{-x}-1$ den "övre" funktionen och $y = 0$ den undre funktionen. Den arean blir alltså

$\int_{0}^{\ln(2)}((2e^{-x}-1)-(0))\operatorname dx=$

$=\int_{0}^{\ln(2)}(2e^{-x}-1)\operatorname dx$

I intervallet $\ln(2)$ till $2$ så är $y = 0$ den "övre" funktionen och $y = 2e^{-x}-1$ den "undre" funktionen. Den arean blir alltså

$\int_{\ln(2)}^{2}((0)-(2e^{-x}-1))\operatorname dx=$

$=\int_{\ln{2}}^{2}-(2e^{-x}-1)\operatorname dx=$

$=-\int_{\ln(2)}^{2}(2e^{-x}-1)\operatorname dx$

Hur har det det varit om den övre funktionen inte var 0? 

Ta t.ex. att du ska beräkna arean som innesluts av följande funktioners grafer:

$f(x)=x^2$

$g(x)=x$

Du börjar med att skissa graferna så att du får en känsla för hur det ser ut.

Ta sedan ta reda på vilka skärningspunkter graferna har: $f(x)=g(x)$ ger dig ekvationen $x^2=x$, med lösningar $x=0$ och $x=1$.

Du vet nu att området du ska areaberäkna ligger mellan $x=0$ och $x=1$.

Utifrån din skiss ser du att i detta intervall är $g(x)$ den "övre" funktionen och $f(x)$ den "undre" funktionen.

Arean blir därför $\int_{0}^{1}(g(x)-f(x))\operatorname dx=\int_{0}^{1}(x-x^2)\operatorname dx$