Bestäm antalet inkongruenta lösningar

Fast nu blir jag lite fundersam, var du med på i denna tråd https://www.pluggakuten.se/trad/diofantisk-ekvation-igen/ att antalet lösningar man får är gcd(a, n)?

Stokastisk skrev :

Fast nu blir jag lite fundersam, var du med på i denna tråd https://www.pluggakuten.se/trad/diofantisk-ekvation-igen/ att antalet lösningar man får är gcd(a, n)?

såg den men jag blev bara ännu mer förvirrad, förstod inte riktigt

Ojdå, jag blandade ihop dig med Tigster, därför blev jag lite fundersam över din fråga.

Men har du lärt dig hur man löser dessa ekvationer? Känner du igen metoden jag visade i andra tråden?

Stokastisk skrev :

Ojdå, jag blandade ihop dig med Tigster, därför blev jag lite fundersam över din fråga.

Men har du lärt dig hur man löser dessa ekvationer? Känner du igen metoden jag visade i andra tråden?

Halvt, vi har inte gått igenom det så bra :/

Okej, men vart kör du fast då?

Stokastisk skrev :

Okej, men vart kör du fast då?

jag vill bara förstå varför gcd är antalet inkongruenta lösningar, det kanske jag lättare kan förstå om jag räknar ut de tal som är inkongruenta. Hur jag gör det, hänger jag inte med på.

Ja alltså att det är antalet följer av att man får lösningarna av att

$x =\hspace{0.17em}{x}_0+\frac{n}{gcd(a, n)}k$

där jag använder notationen från den andra tråden. Det är först när k blir lika med gcd(a, n) vi börjar lägga på en multipel av n till lösningen, så där börjar vi få lösningar som är kongruenta med lösnignar vi redan har.

Stokastisk skrev :

Ja alltså att det är antalet följer av att man får lösningarna av att

$x =\hspace{0.17em}{x}_0+\frac{n}{gcd(a, n)}k$

där jag använder notationen från den andra tråden. Det är först när k blir lika med gcd(a, n) vi börjar lägga på en multipel av n till lösningen, så där börjar vi få lösningar som är kongruenta med lösnignar vi redan har.

så man ska på nåt sätt stoppa in värden för k som är mindre än gcd? 

Ja alltså k är heltal, om man har att $x_0$ är en lösning, så får man de andra lösningarna av att låta k = 1, 2, 3, ..., gcd(a, n) - 1 och räkna ut dem från den där formeln.

Stokastisk skrev :

Ja alltså k är heltal, om man har att $x_0$ är en lösning, så får man de andra lösningarna av att låta k = 1, 2, 3, ..., gcd(a, n) - 1 och räkna ut dem från den där formeln.

har försökt räkna men hur vet jag vilka k jag ska sätta in?

Partikulärlösningen du har funnit stämmer inte. Du har att

$$\begin{gathered} 4 = \mathbf{12} - 1·\mathbf{8} \\ =\mathbf{12} - 1·(\mathbf{32} - 2·\mathbf{12}) =\hspace{0.17em}3·\mathbf{12}-1·\mathbf{32} \\ =3·(\mathbf{44} - 1·\mathbf{32})-1·\mathbf{32} =\hspace{0.17em}3·\mathbf{44}-4·\mathbf{32} \\ =3·\mathbf{44}-4·(\mathbf{3024}-68·\mathbf{44}) =\hspace{0.17em}275·\mathbf{44} - 4·\mathbf{3024} \end{gathered}$$

Så alltså är partikulärlösningarna $x_0 = 275$, $y_0 = -4$ till 44x + 3024y = 4, så till ekvationen 44x + 3024y = 728 så får man att $x_0 \equiv 275\cdot 182 \equiv 1666$ (mod 3024) en partikulärlösning. Därför får man lösningarna

$x_1 = 1666$

$x_2 = 1666 + 756 = 2422$

$x_3 = 1666 + 2\cdot 756 - 3024 = 154$

$x_4 = 1666 + 3\cdot 756 - 3024 = 910$

Löningarna till ekvationen.

Varför blir det -3024 på x3 och x4 men inte för ekvationerna ovan.

Ja ursäkta för det, jag var bara lite för lat för att skriva det. Men eftersom $1666 + 2\cdot 756 = 3178$, vilket är större än 3024 och det är trevligare om lösningarna ligger i intervallet [0, 3024) så drog jag bort 3024. Lösningarna 3178 och 3178 - 3024 är ju ändå kongruenta med varandra.