Bestäm antal rötter till ekvation med ln och absolutbelopp

Börja med att skissa funktionen ungefärligt. Vilka termer dominerar när x är stort respektive litet? Vilket värde har de dominerande termerna då? 

$$\begin{gathered} \ln \left(\left|x\right|\right)-x^2+x+2=a \\ \ln \left(\left|x\right|\right)=x^2-x-2+a \end{gathered}$$

Prova nu att skissa $y=\ln \left(\left|x\right|\right)$ och $y=x^2-x-2+a$ med papper och penna. Den andra kurvan kan du ju inte skissa på bara ett ställe, för a kan ju variera, men det är en parabel med en symmetrilinje som är oberoende av värdet på a. Rita in symmetrilinjen i din skiss och skissa lite för några olika värden på a (dvs samma parabel, bara förskjuten i y-led).

Du kan ganska snabbt se vilka olika alternativ det finns, och kanske får du också idéer för hur du ska lösa den. Annars kan du fråga igen!

Nu har jag skissat!

När man säger ”antal rötter” menar man då var parabeln skär ln(|x|) eller menar man på hur många ställen som ln(|x|) och parabeln skär x-axeln?

Edit: Det är klart att det är när funktionen skär x-axeln.

Jag återkommer med bättre skisser över funktionens rötter för olika värden på a.

Om man vill titta på när funktionen skär x-axeln och hur många rötter den då har så har jag t.ex. kunnat läsa av grafiskt att när $a>2,25$ så har funktionen 2 rötter (parabeln skär då inte x-axel).

Jag har nu löst uppgiften på det sätt som jag visat ovan, bara med undantaget att det är när de båda kurvorna skär VARANDRA och inte när de skär x-axeln som är intressant.

Vidare kan man rita upp ekvationen $f\left(x\right)=\ln \left(\left|x\right|\right)-x^2+x+2$ och se hur var y = a skär grafen för olika värden på a.

Jag har fått fram att ekvationen har

4 rötter för $a \le 0,556$,

3 rötter för ett reellt tal som ligger någonstans mellan a = 0,556 och a = 0,557,

2 rötter för $0,557\le a<2$,    Edit: Jag hade skrivit lite fel tidigare här.

1 rot för a = 2

och slutligen saknar rötter för a > 2.

Är det någon som kan hjälpa mig få fram ett mer exakt reellt tal för när ekvationen har 3 lösningar?

1 

Om du vill ha hjälp av oss är det en bra idé att följa de råd du får:

SvanteR skrev:

$$\begin{gathered} \ln \left(\left|x\right|\right)-x^2+x+2=a \\ \ln \left(\left|x\right|\right)=x^2-x-2+a \end{gathered}$$

Prova nu att skissa $y=\ln \left(\left|x\right|\right)$ och $y=x^2-x-2+a$ med papper och penna. Den andra kurvan kan du ju inte skissa på bara ett ställe, för a kan ju variera, men det är en parabel med en symmetrilinje som är oberoende av värdet på a. Rita in symmetrilinjen i din skiss och skissa lite för några olika värden på a (dvs samma parabel, bara förskjuten i y-led).

Du kan ganska snabbt se vilka olika alternativ det finns, och kanske får du också idéer för hur du ska lösa den. Annars kan du fråga igen!

Rita upp den funktionen SvanteR beskrev så kan vi hjälpa dig vidare.

Kanelbullen skrev:

Jag har nu löst uppgiften på det sätt som jag visat ovan, bara med undantaget att det är när de båda kurvorna skär VARANDRA och inte när de skär x-axeln som är intressant.

 

Vidare kan man rita upp ekvationen $f\left(x\right)=\ln \left(\left|x\right|\right)-x^2+x+2$ och se hur var y = a skär grafen för olika värden på a.

 

Jag har fått fram att ekvationen har

4 rötter för $a \le 0,556$,

3 rötter för ett reellt tal som ligger någonstans mellan a = 0,556 och a = 0,557,

2 rötter för $0,557\le a<2$,    Edit: Jag hade skrivit lite fel tidigare här.

1 rot för a = 2

och slutligen saknar rötter för a > 2.

Är det någon som kan hjälpa mig få fram ett mer exakt reellt tal för när ekvationen har 3 lösningar?

 

1 

Vid fallen en lösning och tre lösningar så tangerar kurvorna varandra. Så ett tips är att titta på derivatorna. När kan dessa vara lika? Vad krävs vidare av a?

Jag fick a = 1,25 - ln2 för tre lösningar.

Kanelbullen skrev:

Det är inte den funktionen jag bad dig rita upp, men du kan ha hjälp av den när du ritar den "rätta" funktionen.

Tack så mycket för svaren.

Ja, man får titta på derivatorn där kurvorna tangerar varandra.

Hur fick du fram a = 1,25 - ln2 för tre lösningar, Patentamera?

Okej, jag trodde att jag hade förstått rätt att jag skulle rita upp två funktioner och se var de skär varandra, att det var vad SvantR efterfrågade.

Men jag har nu ytterligare ett alternativ, att jag ritar upp grafen för $f\left(x\right)=\ln \left(\right|x\left|\right)-x^2+x+2$ och sedan ser hur många lösningar som finns för olika värden på a. 

Vad tror ni om detta?

Här ser man också att det inte finns några lösningar för a>2 och, 1 lösning för a=2 osv.

Men så klart skulle det vara bra att kunna räkna ut antal rötter utan att bara titta i grafräknaren, så som jag har gjort.

Titta på derivatan. Vid tre och en lösning så tangerar linjen y = a kurvan, som då måste ha derivatan noll i dessa punkter. När har den gröna kurvan en derivata som är noll?

Det var den grafen jag ville ha!

Derivera f(x) och sätt derivatan lika med 0 för att få fram x-koordinaten för (det vänstra) maximivärdet. Stoppa in detta värde ei funktionen för att få fram y-värdet, d v s a.

Jag ska alltså derivera funktionen

$\ln \left(\left|x\right|\right)-x^2+x-2$ och sätta derivatan till noll?

Och sedan göra som Smaragdalen skrev,  så kommer jag att få de rätta värdena på a?

Kanelbullen skrev:

Patentamera, då måste jag lösa ekvationen

$\ln \left(\left|x\right|\right)-x^2+x+2=0.$

Nej, du måste derivera först innan du sätt lika med noll.

Just det, jag kom precis på det.

$y\text{'}=\left|\frac{1}{x}\right|-2x+1$,

jag sätter derivatan till 0:

$\left|\frac{1}{x}\right|-2x+1=0$.

Är jag rätt ute?

Kanelbullen skrev:

Just det, jag kom precis på det.

$y\text{'}=\left|\frac{1}{x}\right|-2x+1$,

jag sätter derivatan till 0:

$\left|\frac{1}{x}\right|-2x+1=0$.

Är jag rätt ute?

Varför fick du beloppstecken? Om x>0 så är ln|x| = lnx. Om x<0 så är ln|x| = ln(-x).

$\frac{d}{dx}ln\left(-x\right)=\frac{1}{—x}·\frac{d(-x)}{dx}=\frac{1}{x}$

Nu har jag deriverat och satt derivatan till 0 samt löst andragradsekvationen som uppstod.

Kanelbullen skrev:

Nu har jag deriverat och satt derivatan till 0 samt löst andragradsekvationen som uppstod.

Sedan måste du räkna ut vad a skall vara för att linjen y = a skall tangera den gröna kurvan då x = 1 och x = -0,5. Dvs f(1) = a och f(-0,5) = a.

Tack så jättemycket för all hjälp!

Hur får jag egentligen f(-0,5) till 1,25-ln2?

Jag får det till 0,5568528.... men svaret är ju mer exakt uttryckt 1,25-ln2. Det förstår jag, men vill någon visa hur jag räknar för hand med ln när jag vill uttrycka   f(-0,5)?

Den andra blev fel, det ska vara

$\ln \left(\left|0,5\right|\right)-(-0,5^2)+(-0,5)+2=...$

$\ln|1-0,5|-(-0,5)^2+(-0,5)+2=...$ (du har ett teckenfel)

Kan du förenkla uttrycket ln(0,5) så att det ingår ln2 i det?

Får jag bara säga att din handstil och grafen är snygf

Tack för komplimangen :-)

Smaragdalena, här är förenklingen:

ln(0,5) = ln(1/2) = ln(1)-ln(2) = 0-ln(2).

Och

-0,25-0,5+2=1,25

Kanelbullen skrev:

Tack för komplimangen :-)

Ska f(-0,5) skrivas $\ln \left(\left|0,5\right|\right)-(-0,5^2)+(-0,5)+2=1,25-\ln 2$ ?

ln|-0,5| - (-0,5)² - 0,5 + 2 = ln(0,5) - 1/4 - 2/4 + 8/4 = 5/4 + ln(0,5) = 1,25 - ln2

ln(0,5) = ln(2^-1) = -1 x ln2 = -ln2

När du jobbat så mycket, så glöm inte att svara korrekt på det som har efterfrågats.

Kanelbullen skrev:

Tack för komplimangen :-)

Smaragdalena, här är förenklingen:

ln(0,5) = ln(1/2) = ln(1)-ln(2) = 0-ln(2).

 

Och

-0,25-0,5+2=1,25

Ja. Och jag håller med om att du skriver och ritar snyggt!

Tack Patentamera!

Jag var lite snabb med att posta, jag ändrade inlägget sedan och skrev ned min variant av förenklingen till Smaragdalena och dig:

ln(0,5)=ln(1/2)=ln(1)-ln(2)=0-ln(2).

Kanelbullen skrev:

Tack Patentamera!

Jag var lite snabb med att posta, jag ändrade inlägget sedan och skrev ned min variant av förenklingen till Smaragdalena och dig:

ln(0,5)=ln(1/2)=ln(1)-ln(2)=0-ln(2).

Studera $f(x)$ som den är skriven. Bestäm lokala extrema, teckenstudera (eller $f''(x)$) och du ser antalet lösningar för varje $a$.

Tack återigen för all coachning och hjälp.