Bestäm andragradsfunktion vid kännedom av vertex och ytterligare en punkt
Från toppen av ett högt fyrtorn kastar Percy en sten ut i havet. 9,6 meter från Percy i
horisontell led når stenen sin maximala höjd vilken är 4,7 meter ovanför stenens
ursprungliga position. Stenens ursprungliga position är 78,0 meter över havsnivån.
Stenens bana genom luften följer en andragradskurva. Bestäm avståndet i horisontell
led från Percy till punkten där stenen landar i havet (sträckan s i figuren).
Tankar: Eftersom jag har vertex(extrempunkten) och ytterligare en punkt på grafen så använde jag mig av: y = k(x-a)^2 + b
Jag hittade på en graf, där stenens bana börjar är 0 på x axeln och därmed är punkten 0,78. Maximipunkten hittade jag genom att utgå ifrån att det är 9,6 på x-axeln och sedan ta 78 + 4,7 på y-axeln.
0;78
9,7 ; 82,7
Satt in siffrorna i formeln:
y = k(x-9,7)^2 + 82,7
78 = k(0-9,7)^2+ 82,7
78 = -94,09k + 82,7
Minus 82,7 på båda sidor:
-4,7 = -94,09
Jag kan skriva ut hela min lösning (som är fel) men jag är ganska säker på att något gått snett redan här. Använder jag fel formel eller är det något slarv fel eller är det något annat?
Hej.
Snygg bild.
Det enda jag saknar är att du lägger in ett koordinatsystem så att det är tydligt var origo ligger och vilka riktningar på x och y du anser vara positiva.
======
Vad gäller din lösning så ser jag två brister:
- Du har skrivit 9,7 istället för 9,6 i formeln
- Du har fått fel tecken på kvadraten (0-a)2. Det blir ju (-a)2, vilket är lila med a2, inte -a2.
Yngve skrev:Hej.
Snygg bild.
Det enda jag saknar är att du lägger in ett koordinatsystem så att det är tydligt var origo ligger och vilka riktningar på x och y du anser vara positiva.
Tyvärr så är det här hela frågan. Jag hittade på vart punkterna fanns på x och y axeln i min uträkning. Tänkte att eftersom de enbart vill veta avståndet från start till där stenen träffar marken i x led så spelar det ingen roll vilka koordinater det är så länge det blir proportionellt. Utgick därför ifrån att starten av kastet är på x = 0 och därmed gjorde jag punkten till: 0,78
======
Vad gäller din lösning så ser jag två brister:
- Du har skrivit 9,7 istället för 9,6 i formeln
- Du har fått fel tecken på kvadraten (0-a)2
Okej, ska dirigera de misstagen
Scientia skrev:
Tyvärr så är det här hela frågan. Jag hittade på vart punkterna fanns på x och y axeln i min uträkning. Tänkte att eftersom de enbart vill veta avståndet från start till där stenen träffar marken i x led så spelar det ingen roll vilka koordinater det är så länge det blir proportionellt. Utgick därför ifrån att starten av kastet är på x = 0 och därmed gjorde jag punkten till: 0,78
Ja, det är helt OK att göra så.
Jag förstod av din beskrivning att origo måste ligga där, men det underlättar för läsaren om du lägger in koordinatsystemet i bilden.
78 = k(9,6)^2 + 82,7
78 = 92,16k + 82,7
Minus 82,7 på båda sidor
-4,7 = 92,16k
Dela med 92,16 på båda sidor
-0,05099826 = k
y = -0,05099826(x-92,16)^2+ 82,7
Använde kvadreringsregeln
y = -0,05099826(x^2 -19,2x + 92,16) + 82,7
y = -0,05099826x^2 + 0,979x - 4,699 + 82,7
y = -0,05099826x^2 + 0,979x + 87,399
Jag söker efter nollpunkten eftersom jag ska hitta avståndet från där stenen kastades till nollpunkten (där stenen landade)
0 = -0,05099826x^2 + 0,979x + 87,399
Delar båda sidor med: -0,05099826 för att få ett x^2
0 = x^2 -19,2x + 174,86
Använder pq-formeln:
X = 9,6 +- roten ur: -86,88
Jag vet inte vilket fel jag har gjort. Facit säger: 50 meter, men min uträkning resulterar i en negativ diskriminant vilket skulle innebära ”imaginary numbers” och det funkar inte.
Scientia skrev:[...]
Delar båda sidor med: -0,05099826 för att få ett x^2
0 = x^2 -19,2x + 174,86
[...]
Kontrollera din uträkning (det fetmarkerade ovan)
0 = x^2 - 19,2x - 1713
pq-formeln:
x = - -19,2/2 +- roten ur: (19,2/2)2 - - 1713
x = 19,2/2 +- roten ur: 92,16 + 1713
x = 9,6 +- roten ur: 1805,16
x = 9,6 +- 42,487
x1 = 9,6 + 42,487 = 52,087 (det här är den viktiga punkten)
x2 = 9,6 - 42,487 = -32,487
Svar: 52,087 m
Scientia skrev:[...]
Använde kvadreringsregeln
y = -0,05099826(x^2 -19,2x + 92,16) + 82,7
y = -0,05099826x^2 + 0,979x - 4,699 + 82,7
y = -0,05099826x^2 + 0,979x + 87,399
[...]
Det är även felräknat här (fetmarkerat).
Förslag: Gör istället på detta sätt för att minska antalet uträkningar:
Du har sambandet y = -0,051•(x-9,6)2+82,7 och du vill lösa ekvationen y = 0.
Det ger dig
-0,051•(x-9,6)2+82,7 = 0
Dividera båda sidor med -0,051:
(x-9,6)2-1622 = 0
Utveckla kvadraten:
x2-19,2x+92,16-1622 = 0
x2-19,2x-1529 = 0
O.s.v.
Om origo i stället väljs i maximipunkten:
y = kx2
-4,7 = k*9,62
k ≈ -0,051
-(4,7+78,0) =- 0,051x2
x 40,27
40,27 + 9,6 50
