Bestäm alla x

Det är samma sak, men det är heltalen de är ute efter. Du kan sätta k=5 i x=(7/5)k+1, då får du att x=7s+1 där s är ett heltal. 

För att hitta alla heltal måste (7/5)k bli ett heltal, alltså blir s "värde" 5st sju femtedelars k.

I facit använder de k istället för s.

Groblix skrev:

Det är samma sak, men det är heltalen de är ute efter. Du kan sätta k=5 i x=(7/5)k+1, då får du att x=7s+1 där s är ett heltal. 

För att hitta alla heltal måste (7/5)k bli ett heltal, alltså blir s "värde" 5st sju femtedelars k.

I facit använder de k istället för s.

tack! :D

Det finns olika sätt att lösa moulära ekvationer. Egentligen så bör man först bestämma om det ens existerar någon lösning innan vi börjar, och det gör man genom att titta på gcd(5,7). Eftersom att båda siffrorna är primtal så blir gcd(5,7) helt enkelt 1 och 1 delar 30, så detta innebär att det finns en lösning (samt att vi kan dividera båda ledena utan problem).

Vi har $5x-10\equiv 30 \mathrm{mod}\left(7\right)$. Vi kan addera 10 på båda ledena vilket ger: $5x=40 \mathrm{mod}\left(7\right)$. Vi ser att 5 och 40 är delbart med 5 så vi kan lika gärna dela med det, för målet är ju att isolera x. Så vi får $x=8 \mathrm{mod}\left(7\right)$, vi är ute efter den minsta lösningen som i det här fallet ska vara < 7 så vi kan helt enkelt subtrahera bort en sjua (på samma sätt som när man adderar/subtraherar $2\mathrm{\pi }$från sinus/cosinusperioden och får samma lösning) och då får vi $x=1 \mathrm{mod}\left(7\right)$vilket är lösningen. Detta är samma sak som att säga $x=1+7k$där k är något heltal. Så x kan vara $\{1, 8, 15, 22, 29, 36...\}$samt de negativa lösningarna.

Om man inför begreppet invers för modulo, dvs. ett tal x sådant att xy = 1 (modulo n) kallas inversen till y, så blir det lätt att räkna. Inversen finns inte alltid, om gcd(y, n) > 1. Här så är inversen till 5 3, för att 3*5 = 15 = 2*7+1. Då kan man multiplicera allt med 3 i stället för att dela med 5.

En annan gång kanske inte allting går att dela med 5.

Tack för förklaringarna :D