Bestäm alla uppsättningar

Dividera VL och HL så att där bara står $2^{10}$ i HL
Dividera "rätt" parentes i VL med "mest naturlig term"
Snart ser du ett trevligt mönster :-)

Vad är minimum för (x^2+1)/x ?

Henrik Eriksson skrev :

Vad är minimum för (x^2+1)/x ?

Henrik pekar åt rätt håll. Jag saknar dock en konstant i ekvationen. Man kan kalla den t.ex. "n".

Henrik Eriksson skrev :

Vad är minimum för (x^2+1)/x ?

Min av (x^2+1)/x är väl 2

Jocke011 skrev :

Henrik Eriksson skrev :

Vad är minimum för (x^2+1)/x ?

Min av (x^2+1)/x är väl 2

Deriverade du?

$(x^2+1)/x=x+\frac{1}{x}$

Fundera då över om denna ekvation kan vara till nytta:

$\frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}$

okej såg att det blev fel, minimum värdet måste väl bli 1, om x=0 får vi ju $\frac{0+1}{0}=1$

Nu tänkte du fel.

Var alltid extra försiktig när du dividerar med noll.

Hej!

Om x>0 så är det minsta värdet som $(x^2+1)/x$ kan anta lika med 2, vilket inses genom att tillämpa Kvadreringsregeln på

    $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2.$

Albiki

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x+\frac{1}{x} \\ f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}=0 \\ {x}^2-1=0 \end{gathered}$$

Vanligaste sättet att ta reda på max- och min-värden är väl derivering?

x är endast positiv ...således...x=1

$f\left(1\right)=2$

Hej Affe!

Du måste försäkra dig om att funktionen är deriverbar och på vilken mängd detta gäller. Sedan gäller det att visa att extrempunkten är en lokal minimipunkt. Sedan gäller det att visa att den lokala minimipunkten också är en global minimipunkt. 

Det är mycket enklare att använda Kvadreringsregeln här; den visar direkt att x=1 ger en global minimpunkt, och att uttrycket i denna punkt antar värdet 2.

Albiki

Albiki skrev :

Hej Affe!

Du måste försäkra dig om att funktionen är deriverbar och på vilken mängd detta gäller. Sedan gäller det att visa att extrempunkten är en lokal minimipunkt. Sedan gäller det att visa att den lokala minimipunkten också är en global minimipunkt. 

Det är mycket enklare att använda Kvadreringsregeln här; den visar direkt att x=1 ger en global minimpunkt, och att uttrycket i denna punkt antar värdet 2.

Albiki

Du får gärna utveckla din argument i första stycket...har jag deriverat fel...är funktionen inte deriverbar...osv.

Sedan tyckte jag att f(x) var så fundamentalt enkel, att det framgick att derivatan pekade ut en minimipunkt. Det var slarvigt av mig :-) Så....

$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{x^3} \\ f\text{'}\text{'}\left(1\right)=2 \\ vilket således är positivt... \\ alltså minimipunkt... \\ den där positiva munnen \end{gathered}$$

Hej Affe!

Som en summa av två deriverbara funktioner (båda definierade på det öppna intervallet (0,oo)) är funktionen $f$ deriverbar. På intervallet (0,1) är derivatan negativ och på intervallet (1,oo) är derivatan positiv, vilket indikerar att funktionen $f$ har en lokal minimipunkt vid $x=1.$ Eftersom $f(x) > f(1)$ då $0<x<1$ och $f(x) > f(1)$ då $x>1$ har funktionen $f$ även en global minimipunkt vid $x=1.$ Det gäller alltså att $f(x) \geq 2$ för alla $x>0,$ med likhet precis då $x=1.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej Affe!

Som en summa av två deriverbara funktioner (båda definierade på det öppna intervallet (0,oo)) är funktionen $f$ deriverbar. På intervallet (0,1) är derivatan negativ och på intervallet (1,oo) är derivatan positiv, vilket indikerar att funktionen $f$ har en lokal minimipunkt vid $x=1.$ Eftersom $f(x) > f(1)$ då $0<x<1$ och $f(x) > f(1)$ då $x>1$ har funktionen $f$ även en global minimipunkt vid $x=1.$ Det gäller alltså att $f(x) \geq 2$ för alla $x>0,$ med likhet precis då $x=1.$

Albiki

Lessen Albiki...men jag inser hur din senaste utläggning för eleven närmare en lösning på dom tio x-värdena

Hej!

Tillbaka till ursprungsfrågan.

Om man dividerar vänsterledet med produkten

    $10!x_1\cdots x_{10}$

så blir vänsterledet lika med produkten

   $\prod_{k=1}^{10}(y_k+\frac{1}{y_k}) \geq 2^{10}$,

med likhet precis då $y_k =1$ för alla index $k$; här har jag definierat $y_k = x_k/k.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Tillbaka till ursprungsfrågan.

Om man dividerar vänsterledet med produkten

    $10!x_1\cdots x_{10}$

så blir vänsterledet lika med produkten

   $\prod_{k=1}^{10}(y_k+\frac{1}{y_k}) \geq 2^{10}$,

med likhet precis då $y_k =1$ för alla index $k$; här har jag definierat $y_k = x_k/k.$

Albiki

Det råkade väl bara bli en "typo"...$\ge 2^{10}$ ska väl vara ...$=2^{10}$ ...annars finns det väl en vääääldigt massa lösningar :-)
Åsså med deriverings-operationerna eller liknade vi gjort innan ska man väl föra ett resonemang om att vi funnit "den enda lösningen".

Hej Affe!

Nej, det var inget skrivfel, det ska stå $\geq$ och inte $=$ . Det var därför vi diskuterade och kom fram till att funktionen $f(x) = x+1/x$ (definierad för positiva $x$) har sitt globala minimum (talet $2$) när $x=1.$

Albiki 

Jo det är riktigt, men det var bara ett "special-fall" (k=1). Nu borde vi visa att det även gäller även för:

$f_k\left(x_k\right)=\frac{x_k}{k}+\frac{k}{x_k}$

Hej!

Men Affe, det har vi redan gjort; du inser väl att k/x är samma sak som 1/(x/k)?

Albiki