Bestäm alla tresiffriga positiva heltal abc (Matematik/Matte 1/Aritmetik)

Du menar nog att

8 måste vara en faktor i (100c + 10b + a) och 3 måste vara en faktor i (100a + 10b + c)

ja precis.

Börja med att titta på möjliga värden på a.

Sätt upp likheten som ges i inledningen, dvs $8 \cdot (100 a + 10 b + c) = 3 \cdot (100 c + 10 b + a)$

För över alla termer till vänstra ledet så att högra ledet blir 0.

Sedan kan du t ex bryta ut b och betrakta uttrycket.

Prova sedan med olika lämpliga värden på a och c.
Användbart kan också vara delningsreglerna för talen 3 och 8

Henning skrev:
Sätt upp likheten som ges i inledningen, dvs $8 \cdot (100 a + 10 b + c) = 3 \cdot (100 c + 10 b + a)$
För över alla termer till vänstra ledet så att högra ledet blir 0.
Sedan kan du t ex bryta ut b och betrakta uttrycket.
Prova sedan med olika lämpliga värden på a och c.
Användbart kan också vara delningsreglerna för talen 3 och 8

$8 (100 a + 10 b + c) - 3 (100 c + 10 b + a) = 0$

Hur ska jag bryta ut b? Det ska jag väl göra innan jag har flyttat över alla termer till vänster ledet?

Förenkla det hela först.

Multiplicera in 3 resp 8 och undersök sen vilka värden a och c kan ha som entalssiffra. Det blir en rätt begränsad mängd.

Laguna skrev:
Förenkla det hela först.

$800 a + 80 b + 8 c - 300 c - 30 b - 3 a = 0 797 a + 50 b - 292 c = 0 50 b = 292 c - 797 a b = \frac{292 c - 797 a}{50}$

Jättebra. Nu kan du prova med olika val på c och a. Du ser att täljaren, differensen mellan 292c och 797a, ska vara jämnt delbart med 50. Och du vet från problemformuleringen den ungefärliga relationen mellan a och c

Henning skrev:
Jättebra. Nu kan du prova med olika val på c och a. Du ser att täljaren, differensen mellan 292c och 797a, ska vara jämnt delbart med 50. Och du vet från problemformuleringen den ungefärliga relationen mellan a och c

För att differensen ska bli jämnt då ska både 292c och 797a vara udda eller jämna.

Eftersom att a, b och c är positiva heltal, c kan inte vara mindre än 3 för att då blir b negativ.

292c och 797a kan inte bli udda (båda två), alltså ska a och c vara jämna.

kan jag inte primtalsfaktorisera 292c - 797a?

jag har hittat c = 55 och a = 10 b = 483

jag vet inte riktigt hur jag ska resonera här, vad ska c och a vara för att differensen ska vara delbart med 50....

Talen a,b,c ska vara ental, 1-9, 0 skulle ev duga.
a måste vara jämnt, men inte c, eftersom du har faktorn 292 framför c, vilket ger att produkten blir jämnt tal.

Varför inte börja prova med a=2 - Då är talet abc mellan 200-300
Och detta tal gånger 8 blir mellan 1600-2400

Vad kan då c vara för cba gånger 3 ska hamna i samma område?

Enkelt att prova sig fram. Det blir inte så många försök.
Prova med C = 1, 2, 3, 4, osv och A = 1, 2, 3, 4, osv

292 x C 797 x A

292 x 1 = 292 (blir negativt, öka C)
292 x 2 = 584 (blir negativt, öka C)
292 x 3 = 876 797 x 1 = 797 (diff 79, ej delbart med 50)
292 x 4 =1168 797 x 1 = 797 (diff 371, ej delbart med 50)
292 x 4 =1168 797 x 2 = 1594 (blir negativt, öka C)
292 x 5 =1460 797 x 1 = 797 (diff 663, ej delbart med 50)
292 x 5 =1460 797 x 2 = 1594 (blir negativt, öka C)
osv...

(det blir inte många rader till)

jag hänger inte riktigt med

Nichrome skrev:
jag hänger inte riktigt med

Du har ekvationen tidigare i tråden $b = \frac{292 c - 797 a}{50}$

Sätt in C = 1, 2, 3, 4, osv och A = 1, 2, 3, 4, osv och räkna ut vad täljaren blir (jag började på den uträkningen nyss)

Täljaren måste vara delbar med 50

Jag vet att man kan testa sig fram, men det är varken effektivt eller smart. Och jag kan inte resonera med att jag har testat mig fram och det har funkat och därför stämmer svaren som jag har hittat. Även om man ska testa sig fram då bör man göra det systematiskt. T.ex det är helt onödigt att anta att C kan vara 1 eller 2 för att, för det minsta värden för A som är 1 då blir differensen negativt. Istället kan man testa de alternativen som är faktiskt är logiska, dvs alla par av C och A som ger en udda differensen som är delbart med 50. Och det är det jag försöker förstå.

Jag tror inte heller att faktorisering är oanvändbart i det här sammanhanget för att om A och C har faktor 50 i sig då är differensen delbar med 50.

För att jobba systematiskt föreslår jag att du tittar på entalssiffran i de båda talen. a måste vara ett jämnt tal eftersom 3a måste vara jämnt (8c är ju uppenbarligen jämnt). Ett andra villkor är att 3a och 8c måste ha samma entalssiffra. Det begränsar antalet kombinationer av a och c kraftigt. Sen är det bara att pröva dom kombinationerna i ekvationen b=(292c-797a)/50

Man måste nog "testa sig fram" på något sätt.

Jag såg att a < 4, då

8*400 > 3*999

Vidare är a ett jämnt tal, då

797a + 50b - 292c = 0

så a = 2, om lösning finns.

Det ger att 2c slutar på 4, så c = 7 eller c = 2.

Bara ett av dessa värden gör att b är ett heltal mindre än 10.

ostertalje skrev:
För att jobba systematiskt föreslår jag att du tittar på entalssiffran i de båda talen. a måste vara ett jämnt tal eftersom 3a måste vara jämnt (8c är ju uppenbarligen jämnt). Ett andra villkor är att 3a och 8c måste ha samma entalssiffra. Det begränsar antalet kombinationer av a och c kraftigt. Sen är det bara att pröva dom kombinationerna i ekvationen b=(292c-797a)/50

jag förstår att 3a och 8c måste ha samma entalssiffra i så fall kan 3a = 24 a = 8 och 8c = 24 c = 3 funka.

Och man ska testa alla jämna värden för a för att de borde funka, men då måste det ju finnas rätt många kombinationer. Jag blir förvirrad när den ursprungliga ekvationen och den nya ekvationen blandas ihop. Jag förstår inte riktigt vad det är jag ska göra för att jag vet inte massa olika saker nu och jag vet inte hur jag sak få ihop dem.

3a och 8c måste ha samma entalssiffra och 3a måste vara jämnt. Och detta kommer från den ursprungliga ekvationen

Sedan vet jag att differensen mellan 292c och 797a ska vara delbart med 50 och det kommer från den andra ekvationen. Och jag förstår inte hur jag ska hitta värden på c och a så att differensen ska vara delbar med 50.

Jag vet att differensen är delbart med 50 om termerna har faktor 50.

Och jag har också hittat c = 55 a = 10 och b= 483

Henning skrev:
Talen a,b,c ska vara ental, 1-9, 0 skulle ev duga.
a måste vara jämnt, men inte c, eftersom du har faktorn 292 framför c, vilket ger att produkten blir jämnt tal.
Varför inte börja prova med a=2 - Då är talet abc mellan 200-300
Och detta tal gånger 8 blir mellan 1600-2400
Vad kan då c vara för cba gånger 3 ska hamna i samma område?

Varför skriver du att c=55, a=10 och b=483 då du har varit med på att värden på a,b,c är ental ?
Det är ju inget av talen ovan.

I ditt uttryck för b - har du provat med a=2 och c=7 ? Gör det.
Vad blir då b?

b = 9 men jag förstår fortfarande inte hur jag ska räkna ut det utifrån den här ekvationen $b = \frac{292 c - 797 a}{50}$

Om sätter in 2 resp 7 i den ekvationen som Henning föreslagit ovan?

Du efterlyser lite systematik. I det här talet går det inte att räkna ut alla obekanta (3 st) utan att prova sig fram lite. Men om du använder förhållandet mellan a och c som jag angivit ovan så får du ett begränsat antal par av a och c som kan funka. Om du sen tittar på den ursprungliga ekvationen ( 8(100a+10b+c) = 3(100c+10b+a) )så ser du enkelt att 3 × 100c måste vara en bit större än 8 × 100a. Då är det bara a=2 och c=7 som återstår.

Jag testade som jag har beskrivit ovan. Det tog max 10 minuter, så var det klart. (det var 5 timmar sedan)

det är inte så att jag inte vill testa mig fram, det är bara svårt att skriva en fullständig uträkning och slutsats samt generalisering om man har hittat svaret genom att testa sig fram.

Det här duger väl bra:

8 *(100a + 10b + c) = 3*(100c + 10b + a) ------> $b = \frac{292 c - 797 a}{50}$

1<=a<=9 1<=b<=9 1<=c<=9

Så testar att sätta in värden på c och a tills täljaren blir delbar med 50

292 x C 797 x A

292 x 1 = 292 (blir negativt, öka C)
292 x 2 = 584 (blir negativt, öka C)
292 x 3 = 876 797 x 1 = 797 (diff 79, ej delbart med 50)
292 x 4 =1168 797 x 1 = 797 (diff 371, ej delbart med 50)
292 x 4 =1168 797 x 2 = 1594 (blir negativt, öka C)
292 x 5 =1460 797 x 1 = 797 (diff 663, ej delbart med 50)
292 x 5 =1460 797 x 2 = 1594 (blir negativt, öka C)
osv...

(det blir inte många rader till)

Så det är lösningen? Alla försök?

Nichrome skrev:
Så det är lösningen? Alla försök?

Bara till du hittar lösningen, och den kommer strax efter mitt "osv..."

ja, jag hittade bara c = 7 och a = 2

och jag märkte att jag behövde inte räkna så mycket efter att jag multiplicerade olika tal med 292 för om entalssiffran minus 4 och 7 inte blir 0 då är differensen inte delbar med 50.

292 x 6 =1752 797 x 1 = 797 (diff 955 , ej delbart med 50)
292 x 6 =1752 797 x 2 = 1594 (diff 158 , ej delbart med 50, öka C)

bara lite till nu....

Nichrome skrev:
ja, jag hittade bara c = 7 och a = 2
och jag märkte att jag behövde inte räkna så mycket efter att jag multiplicerade olika tal med 292 för om entalssiffran minus 4 och 7 inte blir 0 då är differensen inte delbar med 50.

Det är bra, du är lite listig :)