Bestäm alla skärningspunkter

Hej, jag har lite problem med att lösa följande uppgift:

Betrakta kurvorna (x,y)= $(t^{2}, t + 1), t \in R$ och $5 x^{2} + 5 x y + 3 y^{2} - 8 x - 6 y + 3 = 0$ i planet.

Bestäm alla skärningspunkter mellan kurvorna.

Jag är osäker på hur man ska ta sig an fallet när vi har t^2,t+1, ska man börja med ett variabelbyte med x och y för att få till samma variabler på båda kurvorna?

Byt ut x och y mot t-uttrycken så får du en fjärdegradsekvation i t.

Ett komplement till Dr. G's svar:

Här hittar du en beskrivning av hur man gör, fast med ännu en variabel. Metoden är densamma: https://www.ludu.co/course/linjar-algebra/skarningspunkter

jag satte x= $t^{2}$ och y=t+1

och fick $5 t^{4} + 5 t^{2} (t + 1) + 3 (t + 1)^{2} - 8 t^{2} - 6 (t + 1) + 3 = 0$

vilket jag sedan fick till $5 t^{4} + 5 t^{3} - 6 = 0$

Svaret ska till slut bli (1,0) och (0,1) men jag vet inte hur man ska komma dit utan att veta svaret i förväg.

Fick nästan samma. Blir konstanttermen i VL -6?

ja det var vad jag fick det till.

Tillslut ska ju dock svaret bli (1,0) 0ch (0,1) men dit vet jag inte hur dom kommer

Konstanttermen i VL blir 3 - 6 + 3 = 0.

Då kan man hitta t-värdena för skärningspunkterna.

ja det blir det nog nu när jag tittar efter igen.

så vi får då kvar $5 t^{4} + 5 t^{3} = 0$ och vi har att $x = t^{2} o c h y = t + 1$

Yes, och vad är då x och y?

blir inte $5 t^{4} = 5 x^{2}$ sen har vi $5 t^{3}$ och där vet jag inte riktigt,

Sätt in t-värdena i den parametriserade kurvan!

jag har ju t^2=x så därför fick jag 5x^2

men med $5 t^{3}$ måste jag ju få något y värde, ska man då sätta $5 t^{3} = 5 y^{3} - 3$

Vi har kommit fram till att kurvorna skärs då

5t^4 + 5t^3 = 0

Vilka lösningar har den ekvationen?

$5 t^{4} + 5 t^{3} = 0 \Rightarrow 5 t^{4} = - 5 t^{3}$ $\Rightarrow t^{4} = - t^{3}$ alltså måste ju t=1 eller 0

t blir -1 eller 0, och vad är då x och y i de två fallen?

Svara

Visa senaste svar