Bestäm alla primitiver

Hej Pluggakuten, jag sitter med en uppgift och har kört fast helt.
Uppgiften är:
"Använd variabelbytet $t = \tan \frac{x}{2}$ för att bestämma alla primitiver till

$\frac{1}{2+\sin x}$ "

Jag började med att göra variabel bytet och reda ut lite samband jag kunde tänkas behöva.

$$\begin{gathered} t = \tan \frac{x}{2} \iff x = 2 arc\tan t \\ \frac{dx}{dt}= \frac{2}{t^2+1} \\ dx = \frac{2}{t^2+1} dt \\ \sin x = \sin \left(2\frac{x}{2}\right) = 2\sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{1}= \\ \frac{2\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right) + {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)} = (delar täljare och nämnare med {\cos }^2(\frac{x}{2}\left)\right) \\ = \\ \frac{2\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{1+{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}= \frac{2t}{1+t^2} enligt variabel byte ovan \end{gathered}$$

Där efter börjar jag lösa ut primitiver.

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{2+\sin x} dx =\left(variabelbyte\right) \int \frac{1}{2+\left({\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}\right)}\times \frac{2}{1+t^2} dt \\ \int \frac{2}{2t^2+2t+2}dt=2\int \frac{1}{t^2+t+1}dt =2\int \frac{1}{{(t+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}dt \end{gathered}$$

Här efter tar det stopp, jag tänkte jobba vidare med partialbråksuppdelning för att sedan bestämma alla primitiver. Jag har dock ingen aning om hur jag ska bearbeta nämnaren.

Facit ger svaret $\frac{2}{\sqrt{3}}arc\tan \left(\frac{2\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}+1}{\sqrt{3}}\right) +C$

Jag ser att (t+1/2)^2 i nämnaren kan liknas vid derivatan till arctan men missar helt om där är en faktor som ska brytas ut eller något liknande.
Help me pluggakuten!