Bestäm alla primitiva funktioner

Derivera din primitiva funktion. Blir det rätt?

Om du granskar funktionen som du ska hitta primitiv till så ser du att den består av en parentes och framför den står något som ser ut som inre derivatan. Kan det ge någon ledning?

Jaa att $4x^3$ är derivatan utav $x^4+8$. Men hur löser jag resten?

Du har säkert läst om kedjeregeln. Nu måste du använda den 'baklänges'

Låt oss sätt h=x^4+8 så blir din uppgift att integera $h\text{'}·h^6$

Okej, så vi chansar på att vår primitiva funktion är $h^7$ och testar att derivera det då blir det $7h^6·h\text{'}$
Om du inte förstår det så får du säga till. Det är helt avgörande.

Vår gissning var alltså lite fel, vi fick en 7:a för mycket. Låt oss korrigera gissningen till $\frac{h^7}{7}$ och så deriverar du och får ...
Ja! det blev $7·\frac{h^6}{7}·h\text{'}=h^6·h\text{'}=h\text{'}·h^6$   precis vad vi ville ha!  Nu var ju h=x^4+8 så din lösning blir:

$\frac{(x^4+8{)}^7}{7}$   Testa nu att derivera med kedjeregeln.

Tack!!

Så kedjeregeln gör att derivatan utav: $(x^4+8)$är $4x^3$ och derivatan utav: $\frac{(x^4+8{)}^7}{7}$ blir $(x^4+8{)}^6$

Och "totala" deriveringen blir: $4x^3\times (x^4+8{)}^6$

Duckster skrev:

Tack!!

Så kedjeregeln gör att derivatan utav: $(x^4+8)$är $4x^3$ och derivatan utav: $\frac{(x^4+8{)}^7}{7}$ blir $(x^4+8{)}^6$

Och "totala" deriveringen blir: $4x^3\times (x^4+8{)}^6$

 Ja det är rätt.

Om du vill bli duktig på att integrera (dvs hitta primitiva funktioner) så är det viktigt att du förstår vad du gjort i denna uppgift och att du övar så mycket att du direkt ser mönstret när det dyker upp i en annan uppgift.

Mönstret är f'(x)* g(f(x)) (dvs en funktion multiplicerad med sin inre derivata)

Hej!

Som de övriga skrivit, om du betecknar $y(x) = x^4+8$ så är derivatan $y'(x) = 4x^3$ så att din "funktion" kan skrivas

    $\displaystyle y'(x) \cdot (y(x))^6.$

Integrera detta för att få de primitiva funktionerna

    $\int 4x^3(x^4+8)^6\, dx = \int (y(x))^6\, dy(x) = \frac{(y(x))^7}{7} + C = \frac{(x^4+8)^7}{7} + C.$