Bestäm alla positiva heltal
Bestäm alla positiva heltal a,b,c så att
abc= 2016
(a-1)(b-1)(c-1)=1573
jag började först med att göra så
a = 2016/bc
b = 2016/ac
c= 2016/ab
och multiplicera parenteserna så jag fick
abc-ab-ac+c= 1573
Men de här säger mig inte så mycket så jag tänkte det är bättre om jag börjar med att subtrahera 1573 från 2016 så att räkna ut skillnaden mellan de 2016-1573=443
så värdet sänks med 443 när alla variabler subtraheras med 1
jag tänkte skriva en ekvation baserad på det men jag vet inte hur?
Det kan väl inte vara rätt:
c - ab - ac = 443
c = 443 + ab + ac
c = 443/a + ab - c
443/a + ab - c = 443 + ab + ac
Att faktorisera 2016 och 1573 är nog användbart.
Laguna skrev:Att faktorisera 2016 och 1573 är nog användbart.
2*2*2*2*2*2*3*3*7=2016
11*11*13= 1573
baharsafari skrev:Laguna skrev:Att faktorisera 2016 och 1573 är nog användbart.
2*2*2*2*2*2*3*3*7=2016
11*11*13= 1573
Då finns det inte så många sätt att ordna till (a-1)(b-1)(c-1).
Laguna skrev:baharsafari skrev:Laguna skrev:Att faktorisera 2016 och 1573 är nog användbart.
2*2*2*2*2*2*3*3*7=2016
11*11*13= 1573
Då finns det inte så många sätt att ordna till (a-1)(b-1)(c-1).
a = 14
b = 12
c = 12
12*12*14= 2016
11*11*13=1573
Ja, att a, b och c är respektive 12, 12 och 14 är en möjlighet.
Hur vet du att det inte finns andra möjligheter?
Har du undersökt alla möjligheter för tre faktorer att bilda produkten 1573?
--------
(För övrigt så har du råkat få med en faktor 2 för mycket i faktoriseringen av 2016.)
Yngve skrev:Ja, att a, b och c är respektive 12, 12 och 14 är en möjlighet.
Hur vet du att det inte finns andra möjligheter?
Har du undersökt alla möjligheter för tre faktorer att bilda produkten 1573?
--------
(För övrigt så har du råkat få med en faktor 2 för mycket i faktoriseringen av 2016.)
hur kan jag undersöka dem?
baharsafari skrev:
hur kan jag undersöka dem?
Du kan bilda produkten 1573 med hjälp av exakt tre faktorer på följande sätt:
11*11*13
1*11*(11*13) = 1*11*143
1*13*(11*11) = 1*13*121
1*1*(11*11*13) = 1*1*1573
För vart och ett av dessa fyra fall finns en uppsättning värden på a, b och c.
Kommer du vidare då?
Yngve skrev:baharsafari skrev:hur kan jag undersöka dem?
Du kan bilda produkten 1573 med hjälp av exakt tre faktorer på följande sätt:
11*11*13
1*11*(11*13) = 1*11*143
1*13*(11*11) = 1*13*121
1*1*(11*11*13) = 1*1*1573
För vart och ett av dessa fyra fall finns en uppsättning värden på a, b och c.
Kommer du vidare då?
ja men 2*12*144= 3456 och 2*14*122=3416 och 2*2*1574 går inte ens :/
baharsafari skrev:
ja men 2*12*144= 3456 och 2*14*122=3416 och 2*2*1574 går inte ens :/
Nej du blandar ihop det.
Det ska gälla att (a-1)*(b-1)*(c-1) = 1573.
Det finns fyra olika fall att undersöka:
- Om faktorerna är 11, 11 och 13 så gäller det att a-1 = 11, b-1 = 11 och c-1 = 13, dvs a = 12, b = 12 och c = 14.
- Om faktorerna är 1, 11 och 143 så gäller det att a-1 = 1, b-1 = 11 och c-1 = 143, dvs a = 2, b = 12 och c = 144.
- Om faktorerna är 1, 13 och 121 så gäller det att a-1 = 1, b-1 = 13 och c-1 = 121, dvs a = 2, b = 14 och c = 122.
- Om faktorerna är 1, 1 och 1573 så gäller det att a-1 = 1, b-1 = 1 och c-1 = 1573, dvs a = 2, b = 2 och c = 1574.
Alla dessa fyra fall uppfyller villkoret (a-1)*(b-1)*(c-1) = 1573. Du måste nu undersöka vilket eller vilka av dessa fall som dessutom uppfyller villkoret abc = 2016.
