Bestäm alla polynom q(x) för vilka (x-1)q(x+1)=(x+2)q(x)

Bestäm alla polynom q(x) för vilka (x-1)q(x+1)=(x+2)q(x) för alla reella x.

Har testat stoppa i x = 0,1,-2 och får då att q(1) = q(0)= q(-1) =0. Alltså är x = 0,1,-1 nollställen till q, kan man då säga att q(x) = ax(x+1)(x-1) ? Hur vet jag att det inte finns fler nollställen?

Bra fråga!

Testa att multiplicera din funktion med en godtycklig polynomfunktion - stämmer fortfarande funktions-ekvationen?

Om vi stoppar in 0, 1 och -2 så får vi

-q(0) = 2q(-1)

0 = 3q(1)

-3q(-1) = 0

så det stämmer.

Låt q(x) = x(x-1)(x+1)p(x)

(x-1)(x+1)x(x+2)p(x+1) = (x+2)x(x-1)(x+1)p(x)

p(x) = p(x+1) för alla x, så p(x) måste vara en konstant

Svara