Bestäm alla möjliga par av positiva heltal a, b.

Kan du skriva om hela ekvationen så att det bra finns två olika baser? Vilka är dessa båda baser?

Smaragdalena skrev:

Kan du skriva om hela ekvationen så att det bra finns två olika baser? Vilka är dessa båda baser?

Menar du 12^100=(6*2)^100?

Nej. Det du skriver är inte sant.

Vilka faktorer finns det i 6? Vilka faktorer finns det i 4? Vilka faktorer finns det i 12? 

Smaragdalena skrev:

Nej. Det du skriver är inte sant.

Vilka faktorer finns det i 6? Vilka faktorer finns det i 4? Vilka faktorer finns det i 12? 

6=2*3

4=2*2

12=2*2*3

^Sådär?

12^100=(6*2)^100 var väl visst sant, men det gick bara en bit på vägen.

Ja, nu har du allt uttryckt i 2or och 3or. Skriv den ursprungliga ekvationen med bara de baserna.

Laguna skrev:

12^100=(6*2)^100 var väl visst sant, men det gick bara en bit på vägen.

Ja, nu har du allt uttryckt i 2or och 3or. Skriv den ursprungliga ekvationen med bara de baserna.

(2*3)^a*(2*2)^b=(2*2*3)^100

Såhär?

Jag tror det. Förenkla båda sidor så att de har formen 2^p3^q.

Smaragdalena skrev:

Jag tror det. Förenkla båda sidor så att de har formen 2^p3^q.

Vad menas med det och hur gör jag det?

Hur många faktorer 2 finns det i vänsterledet? Hur många faktorer 3 finns det i vänsterledet? Hur många faktorer 2 finns det i högerledet? Hur många faktorer3 finns det i högerledet?

Smaragdalena skrev:

Hur många faktorer 2 finns det i vänsterledet? Hur många faktorer 3 finns det i vänsterledet? Hur många faktorer 2 finns det i högerledet? Hur många faktorer3 finns det i högerledet?

Det finns tre 2:or och en 3:a i vänsterledet och två 2:or och en 3:a i högerledet.

Nej, om det t ex står 2^a så finns det a stycken tvåor. Om det står 3³ så är det 3 stycken treor.

Då formulerar jag om frågan: Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 2 som finns i vänsterledet? Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 3 som finns i vänsterledet? Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 2 som finns i högerledet? Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 3 som finns i högerledet?

Smaragdalena skrev:

Nej, om det t ex står 2^a så finns det a stycken tvåor. Om det står 3³ så är det 3 stycken treor.

Då formulerar jag om frågan: Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 2 som finns i vänsterledet? Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 3 som finns i vänsterledet? Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 2 som finns i högerledet? Vilken är den totala exponenten som anger antalet faktorer 3 som finns i högerledet?

VL:

1+a och 2+b stycken tvåor

1+a stycken treor

HL:

2+100=102 stycken tvåor

1+100=101 stycken treor

Stämmer detta?

Om det skall vara lika många tvåor och lika många treor på båda sidor, så måste det gälla att 

1+a och 2+b stycken tvåor = 102 stycken tvåor

1+a stycken treor = 101 stycken treor

Kommer du vidare?

Smaragdalena skrev:

Om det skall vara lika många tvåor och lika många treor på båda sidor, så måste det gälla att 

1+a och 2+b stycken tvåor = 102 stycken tvåor

1+a stycken treor = 101 stycken treor

Kommer du vidare?

Då måste väl a vara 101, så att treorna finns med, fast dp går det väl inte att sätta in något som blir 2 för b?

Sätt in dina värden i den ursprungliga ekvationen och kolla om det stämmer.

Smaragdalena skrev:

Sätt in dina värden i den ursprungliga ekvationen och kolla om det stämmer.

6^101*4^1=12^100 var fel, sade en digital miniräknare. Skall man prova värden som är nära?

Nej, du skall inte behöva någon miniräknare till den här uppgiften. 

Använd den andra ekvationen för att få fram ett värde på a. Använd däredter den första och sätt in ditt a-värde för att få fram värdet på b.

Smaragdalena skrev:

Nej, du skall inte behöva någon miniräknare till den här uppgiften. 

Använd den andra ekvationen för att få fram ett värde på a. Använd däredter den första och sätt in ditt a-värde för att få fram värdet på b.

(2*3)^100*(2*2)^b=(2*2*3)^100

Jag gissar på a=100 för att jag inte vet hur jag löser den ekvationen, är det den ekvationen jag skrev ner som du syftar på?

1. Lös ekvationen 1+a = 101

2. Sätt in värdet på a som du fick fram i (1) och lös ekvationen 1+a+2+b = 102.

Jag utgår från att du har förenklat korrekt.

Smaragdalena skrev:

1. Lös ekvationen 1+a = 101

2. Sätt in värdet på a som du fick fram i (1) och lös ekvationen 1+a+2+b = 102.

Jag utgår från att du har förenklat korrekt.

1. a=100

2. 1+100+2+b=102

103+b=102

b=-1

Så det är svaret? För i facit står det att a=100 och b=50, jag kanske kan ha gjort något fel......

Sätt in dina värden i den ursprungliga ekvationen och kolla om det stämmer.

Sätt in värdena från facit i den ursprungliga ekvationen och kolla om det stämmer.

Smaragdalena skrev:

Sätt in dina värden i den ursprungliga ekvationen och kolla om det stämmer.

Sätt in värdena från facit i den ursprungliga ekvationen och kolla om det stämmer.

Om jag sätter in 6^100*4^50=12^100 i miniräknaren blir det fel, om jag sätter in 6^100*4^-1=12^100 blir det också fel. Kan facit möjligtvis ha fel om $6^{100}\times 4^{50}\ne {12}^{100}$?

Lös det utan miniräknare.

6^a.4^b = 12¹⁰⁰

2^a3^a.2^2b = 3¹⁰⁰2²⁰⁰

2^a+2b.3^a = 2²⁰⁰3¹⁰⁰

Om detta skall stämma, behöver exponenterna för 2 vara lika i VL och HL, och likadant med exponenterna för 3.

Då gäller alltså att a+2b = 200 och att a = 100. Detta ger att a = 100 och b = 50 precis som du skrev att det står i facit.

Smaragdalena skrev:

Lös det utan miniräknare.

6^a.4^b = 12¹⁰⁰

2^a3^a.2^2b = 3¹⁰⁰2²⁰⁰

2^a+2b.3^a = 2²⁰⁰3¹⁰⁰

Om detta skall stämma, behöver exponenterna för 2 vara lika i VL och HL, och likadant med exponenterna för 3.

Då gäller alltså att a+2b = 200 och att a = 100. Detta ger att a = 100 och b = 50 precis som du skrev att det står i facit.

Jahaa, nu tror jag att jag greppar det, tack så mycket!