Bestäm alla mjöliga värden på a

Du behöver utveckla kvadratuttrycket. Sedan identifiera den reella termen.

Både a och b ska vara reella tal. Ger det dig något ytterligare?

Förmodligen är det enklare att skriva:

$z=a+bi=re^{iv}$
$z^2=(a+bi)^2=r^2e^{2iv}$

Du har kommit fram till att $a=\pm\sqrt{10}\cdot i$.

Men vad blir då de möjliga värdena på $b$?

Och, det viktigaste av allt, har du kontrollerat ditt svar?

Yngve skrev:

Du har kommit fram till att $a=\pm\sqrt{10}\cdot i$.

Men vad blir då de möjliga värdena på $b$?

Och, det viktigaste av allt, har du kontrollerat ditt svar?

a = +- sqrt 10 är skärningspunkterna mellan y = 10 och y=a^2

Jag vet inte hur jag kommer fram till b värdena.

Det enda du vet är att det ska gälla att $(a+bi)^2=9$.

Om $a=\sqrt{10}\cdot i$ så kan du alltså få ut de möjliga värdena på $b$ genom att lösa ekvationerna $(\sqrt{10}\cdot i+bi)^2=9$ och $(-\sqrt{10}\cdot i+bi)^2=9$.

Men detta är onödigt komplícerat.

Du har att $a^2+2abi-b^2-9=0$, dvs $a^2-b^2-9+2abi=0$

Realdelen av VL är $a^2-b^2-9$, realdelen av HL är $0$

Imaginärdelen av VL är $2ab$, imaginärdelen av HL är $0$

Det ger dig två ekvationer i $a$ och $b$.

a < -sqrt 10 och a > sqrt 10  det gäller för alla dessa a värden

Inspiredbygreatness skrev:

a < -sqrt 10 och a > sqrt 10  det gäller för alla dessa a värden

Varför? Nyss skrev du att $a=\pm\sqrt{10}\cdot i$?

Läs mitt senaste svar igen, jag lade till ett tips som gör allt mycket enklare.

Yngve skrev:

Det enda du vet är att det ska gälla att $(a+bi)^2=9$.

Om $a=\sqrt{10}\cdot i$ så kan du alltså få ut de möjliga värdena på $b$ genom att lösa ekvationerna $(\sqrt{10}\cdot i+bi)^2=9$ och $(-\sqrt{10}\cdot i+bi)^2=9$.

det är sant, nu känner jag mig besviken på mig själv, att inte jag kom på det.

Förresten så var min första uträkning fel det ska vara a = +- sqrt 10 och inte a =+- sqrt10i

Jag skulle förmodligen ha gjort som du ursprungligen gjorde. (a1=... a2=...).

Och sedan dra några slutsatser från att både a och b ska vara reella.

JohanF skrev:

Jag skulle förmodligen ha gjort som du ursprungligen gjorde. (a1=... a2=...).

Och sedan dra några slutsatser från att både a och b ska vara reella.

Varför inte bara:

$z^2=9$
$z=\pm \sqrt{9}$
$z=\pm 3\Rightarrow$
$a=...$
$b=...$

Jag gjorde som ni föreslog och jag kom fram till det här:

$$\begin{gathered} z =\pm 3 \\ re{\left(z\right)}_1=3=a_1 \\ re{\left(z\right)}_2=-3=a_2 \\ samtliga b värden är noll \end{gathered}$$

Kan det här vara rätt? Det känns ju som det men..

Okej med lite mer beräkning så kom jag fram till att:

$$\begin{gathered} samtliga b värden är \\ im{\left(z\right)}_1=6i=b_1 \\ im{\left(z\right)}_2=-6i=b_2 \end{gathered}$$

Inspiredbygreatness skrev:

Okej med lite mer beräkning så kom jag fram till att:

$$\begin{gathered} samtliga b värden är 6i \\ im{\left(z\right)}_{1,2}=6i=b_{1,2} \end{gathered}$$

Hur kom du fram till det?

tomast80 skrev:

Inspiredbygreatness skrev:

Okej med lite mer beräkning så kom jag fram till att:

$$\begin{gathered} samtliga b värden är 6i \\ im{\left(z\right)}_{1,2}=6i=b_{1,2} \end{gathered}$$

Hur kom du fram till det?

Mitt första kommentar angående b värden blev lite fel men nu har jag uppdaterat den.

Jag använde mig av a=3 och a=-3 i ekvationen (a+bi)^2=9 för att räkna fram de eftersökta b värden. 

Inspiredbygreatness skrev:

tomast80 skrev:

Visa föregående citat

Inspiredbygreatness skrev:

Okej med lite mer beräkning så kom jag fram till att:

$$\begin{gathered} samtliga b värden är 6i \\ im{\left(z\right)}_{1,2}=6i=b_{1,2} \end{gathered}$$

Hur kom du fram till det?

Mitt första kommentar angående b värden blev lite fel men nu har jag uppdaterat den.

Jag använde mig av a=3 och a=-3 i ekvationen (a+bi)^2=9 för att räkna fram de eftersökta b värden. 

Både $a$ och $b$ är reella tal, därför är det ej korrekt att $b=6i$.

Du överarbetar frågan:

$z_1=3=a+bi\Rightarrow$ $a_1=3,b_1=0$

$z_2=-3=a+bi\Rightarrow$ $a_2=-3,b_2=0$

tomast80 skrev:

Inspiredbygreatness skrev:

Visa föregående citat

tomast80 skrev:

Inspiredbygreatness skrev:

Okej med lite mer beräkning så kom jag fram till att:

$$\begin{gathered} samtliga b värden är 6i \\ im{\left(z\right)}_{1,2}=6i=b_{1,2} \end{gathered}$$

Hur kom du fram till det?

Mitt första kommentar angående b värden blev lite fel men nu har jag uppdaterat den.

Jag använde mig av a=3 och a=-3 i ekvationen (a+bi)^2=9 för att räkna fram de eftersökta b värden. 

Både $a$ och $b$ är reella tal, därför är det ej korrekt att $b=6i$.

Du överarbetar frågan:

$z_1=3=a+bi\Rightarrow$ $a_1=3,b_1=0$

$z_2=-3=a+bi\Rightarrow$ $a_2=-3,b_2=0$

Ja det har du rätt i, eftersom b är ett reellt tal dvs 0.😅

Utöver det, är a värdena rätt?

Inspiredbygreatness skrev:

Utöver det, är a värdena rätt?

EDIT - råkade skriva fel, har redigerat nu.

Det kan du enkelt kontrollera själv.

• Med $a=3$ och $b=0$: Gäller det att $(3+0i)^2=9$?
• Med $a=-3$ och b=i $b=0$: Gäller det att $(-3+0i)^2=9$?

Yngve skrev:

Inspiredbygreatness skrev:

Utöver det, är a värdena rätt?

Det kan du enkelt kontrollera själv.

• Med $a=3$ och $b=0$: Gäller det att $(3+0i)^2=9$?
• Med $a=-3$ och $b=i$: Gäller det att $(-3+0i)^2=9$?

Jag får det till

9=9 

0=0 

Vad är det jag söker efter här?

Likheten mellan båda leden?

Inspiredbygreatness skrev:

Jag får det till

9=9 

0=0 

Vad är det jag söker efter här?

Likheten mellan båda leden?

Du har fått fram två olika lösningar till ekvationen $(a+bi)^2=9$.

För att ta reda på om lösningarna stämmer kan du helt enkelt sätta in dem i ursprungsekvationen, en i taget, och kontrollera att likheten i båda fallen är uppfylld.

Om den är det så stämmer lösningarna. Om den inte är det så stämmer inte lösningarna.

• Med $a=3$ och $b=0$ så blir ursprungsekvationens vänsterled $(3+0i)^2=3^2=9$, vilket stämmer med högerledet, så detta är en korrekt lösning.
• Med $a=-3$ och $b=0$ så blir ursprungsekvationens vänsterled $(-3+0i)^2=(-3)^2=9$, vilket stämmer med högerledet, så även detta är en korrekt lösning.

Det var så jag menade.

Detta är en generell metod som du alltid kan använda för att kontrollera dina lösningar till ekvationer.

Yngve skrev:

Inspiredbygreatness skrev:

Jag får det till

9=9 

0=0 

Vad är det jag söker efter här?

Likheten mellan båda leden?

Du har fått fram två olika lösningar till ekvationen $(a+bi)^2=9$.

För att ta reda på om lösningarna stämmer kan du helt enkelt sätta in dem i ursprungsekvationen, en i taget, och kontrollera att likheten i båda fallen är uppfylld.

Om den är det så stämmer lösningarna. Om den inte är det så stämmer inte lösningarna.

• Med $a=3$ och $b=0$ så blir ursprungsekvationens vänsterled $(3+0i)^2=3^2=9$, vilket stämmer med högerledet, så detta är en korrekt lösning.
• Med $a=-3$ och $b=0$ så blir ursprungsekvationens vänsterled $(-3+0i)^2=(-3)^2=9$, vilket stämmer med högerledet, så även detta är en korrekt lösning.

Det var så jag menade.

Detta är en generell metod som du alltid kan använda för att kontrollera dina lösningar till ekvationer.

Tack Yngwe.