Bestäm alla lösningar i angivet intervall

Natascha skrev:

Hej. 

Jag har en uppgift där jag ska bestämma samtliga lösningar till $f\text{'}\left(x\right) = 0$ i intervallet $0\le x\le \mathrm{\pi }$ då $f\left(x\right) =2x + \cos \left(4x\right)$

Jag börjar med att derivera f(x) och då får jag $f\text{'}\left(x\right) = 2 + \left(\right(-\sin \left(4x\right)) \to 2 - \sin (4x)$. Nu sätter jag $f\text{'}\left(x\right) = 0$ och får: $2 - \sin \left(4x\right) = 0$. Jag flyttar över $-\sin \left(4x\right)$ till HL och får: $\sin \left(4x\right) = 2$. Härifrån vet jag inte vad som sker härnäst.. :( 

Hej.
När du deriverar $\cos \left(4x\right)$Då blir det fel. Använd kedjeregeln. 

Oj.. Gick nog lite väl fort... :O

Blir det såhär: $f\text{'}\left(x\right) = -4\sin \left(4x\right) + 2$ och sedan sätta derivatan lika med 0? $-4\sin \left(4x\right) + 2 = 0$och då får jag efter ännu mer förenkling: $-4\sin \left(4x\right) = 2 \to \sin \left(4x\right) = 0,5$

När jag ska leta lösningar för $\sin \left(4x\right) = 0,5$ så tar jag inversen och får $\sin \left(4x\right) = \frac{\mathrm{\pi }}{6}$ och då är alltså $x_1 = \frac{\mathrm{\pi }}{6} + n · 2\mathrm{\pi }$ och för andra lösningen får jag $\left(\mathrm{\pi } - \frac{\mathrm{\pi }}{6}\right) + n · 2\mathrm{\pi } \to \frac{5\mathrm{\pi }}{6} +\mathrm{n} · 2\mathrm{\pi }$

Börja med att rita upp enhetscirkeln och linjen y=0,5. Det du får då är de båda värdena för 4x, men det är inte det man frågar om. Svaren är alltså inte de som du skriver. Du är på rätt väg, men du är inte klar än.

Jo jag förstår att det ej är svaren för uppgiften Smaragdalena men jag kan genom dessa två lösningar lägga in olika värden på $n$ för att lösa ut alla värden i intervallet: $0\le x\le \mathrm{\pi }$

Tack för ditt svar gamerlasse69... Jag glömde visst bort det där med att dividera med 4 och Mensa har jag hört för och kanske också ska prova det intelligenttestet... Kan bli spännande! 

Nu får jag följande lösningar: 

$x_1 = \frac{\mathrm{\pi }}{24} + n · \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$x_2 = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + n · \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Är det nu att bara sätta in olika värden på $n$ för att leta lösningar i angivet intervall?

Rensade bort en massa spam. Korra och Natascha, mata inte trollet, rapportera tråden istället! /moderator

Smaragdalena skrev:

Rensade bort en massa spam. Korra och Natascha, mata inte trollet, rapportera tråden istället! /moderator

Bra gjort, han sitter nu med sitt IQ och slår sönder sitt gamingtangentbord av frustrations skulle jag gissa. 

Ännu mer tramsinlägg borttagna. Som Smaragdalena skrev, rapportera inläggen och/eller skicka pm till oss moddar, istället för att mata trollen. /Smutstvätt, moderator 

EDIT (11:36): Och där försvann ännu ett tramsinlägg.

Förlåt för att jag kanske också eldade på trollet istället för att bara kontakta någon ansvarig. Ska ha det i åtanke! 

Jag måste bara få komma tillbaka och ta upp uppgiften igen. Jag har som sagt hittat dem två lösningarna d.v.s. $x_1$ och $x_2$.

Om jag tar $x_1$ och sätter in olika värden på $n$ så får jag: $x_1 = \frac{\mathrm{\pi }}{24} + n · \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ där exempelvis då $n = 1$ ger värdet $\frac{\mathrm{\pi }}{24} + 1 ·\frac{\mathrm{\pi }}{2} \to \frac{\mathrm{\pi } + 12\mathrm{\pi }}{24} = \frac{13\mathrm{\pi }}{24} ~ 1,701...$ Detta förbryllar mig p.g.a. att jag vet att pi omvandlat till grader är ${180}^{°}$. Det är jättesmå tal jag får fram... Är det meningen att jag ska leta till det som pi i decimalform ungefär ger? 3,14159...

Nej, gå tillbaka ett par steg. Det är inte x som har värdet  $\pi/6+2\pi n$ eller $\frac{\pi}{6}+2\pi n$, det är 4x.

Du vet att $4x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ eller att $4x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. Vad blir x i de båda fallen?

Men jag har räknat ut det Smaragdalena? Kika in mitt $x_1$ eller har jag gjort fel? 

Om jag följer ditt råd så får jag av $4x = \frac{\mathrm{\pi }}{6} + n · 2\mathrm{\pi }$ följande: $x_1 = \frac{\mathrm{\pi }}{24} + n · \frac{\mathrm{\pi }}{2}$.  Den andra lösningen blir då $x_2 = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + n · \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Hur kommer jag vidare? När jag stoppar in olika värden på n så får jag väldigt märkliga värden. Jag ska hitta alla värden från 0 till pi. Men jag får jättesmå värden... Hur ska jag göra?

Pröva den andra ekvationen också. Rita in dina lösningar i enhetscirkeln. Lägg gärna upp bilden.

När $x_1$ gav så märkliga svar för olika värden på $n$ så provar jag med $x_2$ - precis som du nämner Smaragdalena. 

$x_2 = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + n · \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ Då provar vi med $n = 1, 2, 3, 4$

Då n = 1 ges: $\frac{5\mathrm{\pi }}{24} + 1 · \frac{\mathrm{\pi }}{2} = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + \frac{\mathrm{\pi }}{2} \to \frac{17\mathrm{\pi }}{24}$

Då n = 2 ges: $\frac{5\mathrm{\pi }}{24} + 2 · \frac{\mathrm{\pi }}{2} = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + \frac{2\mathrm{\pi }}{2} \to \frac{29\mathrm{\pi }}{24}$

Då n = 3 ges: $\frac{5\mathrm{\pi }}{24} + 3 · \frac{\mathrm{\pi }}{2} = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + \frac{3\mathrm{\pi }}{2} = \frac{41\mathrm{\pi }}{24}$

Då n = 4 ges: $\frac{5\mathrm{\pi }}{24} + 4 · \frac{\mathrm{\pi }}{2} = \frac{5\mathrm{\pi }}{24} + \frac{4\mathrm{\pi }}{2} \to \frac{53\mathrm{\pi }}{24}$

Hur ska jag veta vilka av dessa som är lösningar? Är någon av dessa en lösning som befinner sig inne i intervallet: $0\le x\le \mathrm{\pi }$?

Rita in de lösningar som ligger i rätt intervall för båda lösningsskarorna i enhetscirkeln.

För x₂: n=0 ligger i rätt intervall. n=1 ligger i rätt intervall. n=2 ligger i fel intervall.