Bestäm alla linjär avbildningar

Vi vill undersöka vad som händer när T avbildar några basvektorer. Eftersom vi fått några redan, kan vi välja att:

$u=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$, $v=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

och vi kan få w från deras kryssprodukt, alltså $w=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$. Vi undersöker att dessa är oberoende, exempelvis genom att konstatera att $\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right|=3$, alltså är de oberoende. Vi kan då skriva alla vektorer i rummet som $x=au+bv+cw$. 

Eftersom vektorn w är en kryssprodukt av u och v måste w vara vinkelrät mot u och v. Vektorn cw måste då vara den vektor vi får om vi projicerar x på den linje som ges av vektorn w. Projektionsformeln ger att:

$c=\frac{x·w}{{||w||}^2}=\frac{x·w}{3}$

Det innebär att $Tx=a·Tu+b·Tv+c·Tw$. Eftersom u och v tillhör nollrummet (enl. uppgift) måste $Tu=Tv=0$. Kvar blir då att $Tx=d·(0, 0, 1)$, där d är någon reell konstant, eftersom bildrummet skulle vara en linje med riktningsvektor (0, 0, 1). 

Men vi visste också att $Tx=c·Tw$, dvs. $Tx=\left(\frac{x·w}{3}\right)·d·(0, 0, 1)$. Vi kan definiera en ny konstant $e=\frac{d}{3}$. Då får vi, om vi applicerar T på en godtycklig vektor, att $Tx=(0, 0, e(x·w\left)\right)=(0, 0, -x-y+z)$, för någon godtycklig vektor x = (x, y, z) och någon reell konstant e.

Det är superbra analyserat, tack!

(måste göra om det imorgon, så jag markerar inte frågan som löst för att inte glömma!)

dajamanté skrev:

Det är superbra analyserat, tack!

(måste göra om det imorgon, så jag markerar inte frågan som löst för att inte glömma!)

Man kan lösa förvånansvärt svåra uppgifter när man skriver av facit. ;)

haha jag tittade på faciten nu, dem liknar varandra liiiite, men jag måste säga att din omanalysering är mycket klarare :p!!

(men varför ni båda verifierar att en kryssprodukt är linjärt oberoende med determinanten?)

Vi verifierar egentligen inte kryssprodukten, utan att u och v är oberoende. Egentligen borde det, när man fått fram en nollskild kryssprodukt, vara självklart, men så långt orkade inte jag tänka. 

Smutstvätt skrev:

Vi verifierar egentligen inte kryssprodukten, utan att u och v är oberoende. Egentligen borde det, när man fått fram en nollskild kryssprodukt, vara självklart, men så långt orkade inte jag tänka. 

 Du förstår vad jag menar. En kryssprodukt producerar en perpendikulär vektor, så är dem två första vektorer oberoende, då den hela är automatisk linjärt oberoende. Steget känns onödig, om vi kan inte återanvända determinanten.

Så vi kan se att determinanten är tre. Och skalering är 1/3. Finns det en samband?

dajamanté skrev:

 Du förstår vad jag menar. En kryssprodukt producerar en perpendikulär vektor, så är dem två första vektorer oberoende, då den hela är automatisk linjärt oberoende. Steget känns onödig, om vi kan inte återanvända determinanten.

Det är sant. Däremot måste det finnas en motivering till varför de två första vektorerna är oberoende, men du kan använda kryssprodukten som bevis, ja. 

Så vi kan se att determinanten är tre. Och skalering är 1/3. Finns det en samband?

Om determinanten är tre borde skalningen vara tre också. Hur har du fått fram skalningen?

Det står i texten att dom 2 första vektorer oberoende.

Du får fram att c= d*1/3, så det var den jag menade :)

Jag läste slarvigt, haha. Det behövs nog ingen motivering då. 

Aha, jag vet inte. Det är inte omöjligt. 

Låt den linjära avbildningen representeras av $3\times 3$-matrisen $A$. Låt kolonnvektorerna $v_1 = (1,-1,0)^{T}$ och $v_2=(0,1,1)^{T}$ och $e_0 = (0,0,1)^{T}$.

• Villkor a) säger att $Ax=0 \iff x=c_1v_1+c_2v_2$
• Villkor b) säger att $Ax=t(x)e_0$ för alla vektorer $x\in \mathbb{R}^3$ , där $t(x)$ är reella tal.

hmmm? Mer?

Några tips:

• Steg 1 när man ställs inför ett matematiskt problem är att analysera de grundläggande orden som dyker upp i probelmet. Vad betyder "nollrum"? Vad betyder "bildrum"? Skriv gärna ner definitionerna tydligt på ett papper, så att det blir så konkret som möjligt för dig själv vad det är du ska göra. 
• Om du inte vet hur du ska göra för att hitta alla matriser som uppfyller de givna egenskaperna, så kan du kanske hitta en matris som gör det? Eller kanske hitta några matriser som inte uppfyller någon/några av egenskaperna? Att leka runt med konkreta exempel är ofta en bra början!

Här kommer mitt lösningsförslag. Det skiljer sig lite från vad Smutstvätt och Albiki har föreslagit, men jag tänker att det är bra att se att det finns flera olika sätt att resonera. Jag har bara skrivit ner de huvudsakliga stegen, men hoppas att du kan fylla i luckorna själv. Om något känns förvirrande så hjälper jag/någon annan dig så klart gärna vidare!

Oh my.

Tack för att du skrev det.

Jag råkade föreställa mig saken såhär:

$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -\alpha \\ 0& 0& -\alpha \\ 0& 0& \alpha \end{array}\right)$

Har du en idé om förhållandet mellan determinanten och avbildningen? Är det för att det är en vektor av tre som avbildats att vi får $\frac{1}{3}$ ?

Jag har en (kanske!) sista fråga angående Smutstvätts stiligt tolkning av faciten. När dem ger projektionsformel skriver dem:

$c=\frac{x·w}{{||w||}^2}=\frac{x·w}{3}$

varför inte 

$c=\frac{x·w}{{||w||}^2}w=\frac{x·w}{3}w$

dajamanté skrev:

 

$c=\frac{x·w}{{||w||}^2}=\frac{x·w}{3}$

varför inte 

$c=\frac{x·w}{{||w||}^2}w=\frac{x·w}{3}w$

Eftersom c är en konstant! 

Ah just det, och det är c som multiplicerar w.

Jag har ingen ursäkt, jag är tillbaka i Sverige och får mina morgon kaffe.