Bestäm alla kodord till check-matrisen

Jag håller på att gå igenom gamla tentor inför min kommande tenta inom Algebra och Kombinatorik och har fastnat på en fråga dör jag ska bestämma alla kodord till följande check-matris:

Jag har kommit så långt att jag vet att kolumnerna 2,3,6,7 endast innehåller en varsin etta och att ekvationerna för kodorden då kan skrivas:

$x_2=x_1+x_4$

$x_3=x_4$

$x_6=x_1+x_4+x_5$

$x_7=x_1+x_4+x_5$.

Och sedan vet jag att $x_1=0,1$, $x_4=0,1$ och $x_5=0,1$. Men hur gör jag efter detta? Tack på förhand!

Edit: Enligt facit är svaret följande:

(Jag löste den på egen hand så klarmarkerade uppgiften)