Bestäm alla icke-negativa lösningar till ekvationssystemet

Parade ihop? Vad är det för räkneregler du använder då? 🤔

Det finns väl ingenting som säger att  x(x-1) = xy  etc ???

$x(x-1)-yz=0$

$y(y-1)-zx=0$

$z(z-1)-xy=0$

Trivial lösning fås direkt då $x=y=z=0$.

Lås oss undersöka fallet då x=0 och x=1, om vi kör igenom det lite ser vi att för x=1 fås ingen lösning till systemet, jag lämnar det till Nichrome att bevisa själv.

Lås oss studera fallet då x=0 istället. När x=0 fås följande system:

(1):$-yz=0$

(2):$y(y-1)=0$

(3):$z(z-1)=0$

Eftersom (1) kräver att y eller z måste vara 0 har vi två fall. Antag att y =0, det ger att z tvunget måste vara 1, men om istället z = 0 fås y=1. Detta konkluderar att lösningarna ges som:

$x_1=0, y_1=0, z_1=1$

$x_2=0, y_2=1, z_2=0$

$x_3=y_3=z_3=0$

Hur kommer vi ens fram till att undersöka just x = 0 och x =1? Tar vi slutsatsen att vi ska undersöka x=0, y =0 och z = 0 utifrån den triviala lösningen x=y=z=0?

Dracaena skrev:

$x(x-1)-yz=0$

$y(y-1)-zx=0$

$z(z-1)-xy=0$

Trivial lösning fås direkt då $x=y=z=0$.

Lås oss undersöka fallet då x=0 och x=1, om vi kör igenom det lite ser vi att för x=1 fås ingen lösning till systemet, jag lämnar det till Nichrome att bevisa själv.

Lås oss studera fallet då x=0 istället. När x=0 fås följande system:

(1):$-yz=0$

(2):$y(y-1)=0$

(3):$z(z-1)=0$

Eftersom (1) kräver att y eller z måste vara 0 har vi två fall. Antag att y =0, det ger att z tvunget måste vara 1, men om istället z = 0 fås y=1. Detta konkluderar att lösningarna ges som:

$x_1=0, y_1=0, z_1=1$

$x_2=0, y_2=1, z_2=0$

$x_3=y_3=z_3=0$

just nu försöker jag bevisa varför x = 1 inte fungerar och jag har kommit fram till att det leder till att vi får följande ekvationssystem

$$\begin{gathered} -yz = 0 \\ y²-z=y \\ z²-y =z \end{gathered}$$

och precis som när x=0, vi ser att i första ekvationen måste antingen y eller z vara noll och om y = 0 då ser vi att 

vi den sista ekvationen får z² = z som inte stämmer och om z= 0 vi får att den andra ekvationen blir y² = y som inte heller stämmer. 

(eller syftade du på något annat med bevis)?

----

Men samma sak händer när x=0, då har vi återigen att z eller y måste vara 0 som du skrev men jag förstår inte hur vi får fram att den andra variabeln är lika med 1? 

utgår vi från sista ekvationen dvs 

z(z-1) = 0 och då har vi att z = 1 eller 0 

om z = 0 får vi från andra ekvationen att y(y-1)= 0 och då måste y= 1 eller y= 0 etc

Ekvationerna är symmetriska, det är därför intressant att se vad som händer om exempelvis x=1 eller x=0, du kan börja med vilken ekvation som helst, jsg tog x eftersom det var den första ekvationen. 

Det är alltså k(k-1) som är intressant att studera pga symmetrin.

Om x=1 så kommer det leda till nonsens, dvs det kommer inte finnas lösningar. De andra lösningar som du ser i min lösninf ovan kommer från rkvationerna. Det finns krav som måste uppfyllas och därmed leder till tvungna svar.

Dracaena skrev:

Ekvationerna är symmetriska, det är därför intressant att se vad som händer om exempelvis x=1 eller x=0, du kan börja med vilken ekvation som helst, jsg tog x eftersom det var den första ekvationen. 

Det är alltså k(k-1) som är intressant att studera pga symmetrin.

Om x=1 så kommer det leda till nonsens, dvs det kommer inte finnas lösningar. De andra lösningar som du ser i min lösninf ovan kommer från rkvationerna. Det finns krav som måste uppfyllas och därmed leder till tvungna svar.

Jag såg att det inte finns några lösningar för x=1 men jag vet inte hur jag ska bevisa detta. Jag förstår hur vi får fram övriga svar men jag har fastnat på beviset/resonemanget. Kan du visa vad som händer när x=1? För vi får exakt samma ekvationssystem som när x=0

Dracaena skrev:

Ekvationerna är symmetriska, det är därför intressant att se vad som händer om exempelvis x=1 eller x=0, du kan börja med vilken ekvation som helst, jsg tog x eftersom det var den första ekvationen. 

Det är alltså k(k-1) som är intressant att studera pga symmetrin.

Om x=1 så kommer det leda till nonsens, dvs det kommer inte finnas lösningar. De andra lösningar som du ser i min lösninf ovan kommer från rkvationerna. Det finns krav som måste uppfyllas och därmed leder till tvungna svar.

x=1

yz = 0

y(y-1)=z

z(z-1)=y

och då får vi att x=y=0

men om vi sätter in de i ursprungsekvationerna får vi detta

1-0=1

0-0=0

0-0=0

så x=1 funkar 

Nu ska jag bevisa att lösningarna som vi har hittat är de enda som finns. 

jag subtraherade andra ekvationen från den första och fick detta: 

x²-yz-y²+zx=x-y

(x+y)(x-y)+z(x-y) -(x-y) =0

(x-y)(x+y+z-1)=0

att antingen måste x=y eller x+y+z=1

x=y är självklart utifrån svaren som vi har fått men x+y+z=1 vet jag inte hur jag ska bevisa. Jag adderade alla ekvationer med varandra 

x²+y² + z² -yz-zx-xy=x+y+z

z(x-y)+y(y-x)+x(x-z) = 1

men jag har inte kommit längre 

Har inte mycket fritid denna veckan men så fort det släpper lite kan vi kika på det om ingen annan reder ut det. :)

Att bevisa att de är de enda lösningarna kan bli jobbigt, man får nog visa att de är växande.