bestäm alla heltalslösningar

Det här är ett klassiskt problem och ett angripssätt är att addera p^2 till båda led i sista uttrycket och betrakta några av termerna som att de utgör ett polynom i p.

Men det är nästan för specifik vägledning för att man ska kunna göra något med det.

jag provade med att subtrahera båda led med xz och fick då $xz-p\left(x+z\right)=0$ sedan adderade jag båda led med $p^2$ och fick $xz-p\left(x+z\right)+p^2=p^2$ och skrev ihop VL till två parenteser så att vi tillslut får $\left(x-p\right)\left(z-p\right)=p^2$

men hur ska man sedan ur $\left(x-p\right)\left(z-p\right)=p^2$ ta fram alla möjliga heltalslösningar till uppgiften?

Vad du har till vänster är en faktorisering av ett tal p^2 som har ganska få faktoriseringar.

Testa gärna med ett konkret primtal.

tar vi exempelvis och sätter att p=3 får vi alltså $\left(x-3\right)\left(z-3\right)=9$ och multiplicerar vi ihop får vi $xz-3x-3z+9=9 eller xz-3\left(x+z\right)=0$

B.N. skrev:

tar vi exempelvis och sätter att p=3 får vi alltså $\left(x-3\right)\left(z-3\right)=9$ och multiplicerar vi ihop får vi $xz-3x-3z+9=9 eller xz-3\left(x+z\right)=0$

Fast att gå tillbaka sådär kan ju rimligtvis inte göra någon nytta.

Poängen här är att utnyttja att heltal har ett ändligt antal faktoriseringar i två faktorer och att man specifikt för primtalskvadrater lätt kan tabulera dem. För p = 3 över positiva heltal så är det

$9 = 1\cdot 9 = 3 \cdot 3 = 9 \cdot 1$

och var och en av dessa faktoriseringar korresponderar mot en lösning exempelvis

$(x - 3)(y - 3) = 1 \cdot 9$ att  $x = 4$, och $y = 12$

kontrollera även om faktoriseringar med två negativa faktorer är relevanta, men detta ger förhoppningsvis en fingervisning. 

då får jag att få p=3 har vi följande värden på x och y

(-6,2),(0,0),(2,-6),(4,12),(6,6)

men här har jag ju bara tagit ett primtal så det borde väl finnas något sätt att bevisa att det gäller för samtliga primtal? 

Bevisa att vad gäller?

jag menar att om vi ska bestämma alla heltalslösningar till ekvationen och det vi vet är att p ska vara ett primtal och vi valde att sätta p=3 men det står ju inte att det ska vara just p=3 utan det kan ju lika gärna vara p=5 eller p=7 och då får vi ju andra svar på heltalslösningarna x och y.

Ja då kommer du ju istället att hitta symboliska uttryck för lösningarna involverandes talet p istället för tal.

Om du fortfarande är osäker på hur du ska gå tillväga för att hitta dessa symboliska uttryck så kan du gärna lösa problemet för p = 5,7,11,13,... osv och försöka formalisera hur du löser dessa problem och sedan applicera det på symbolen p.

B.N. skrev:

då får jag att få p=3 har vi följande värden på x och y

(-6,2),(0,0),(2,-6),(4,12),(6,6)

men här har jag ju bara tagit ett primtal så det borde väl finnas något sätt att bevisa att det gäller för samtliga primtal? 

 (x,y)=(0,0) är inte lösning, du får inte dela med 0.

(-6,2) och (2,-6) är inte en lösningar, däremot är (-6,-2) och (2,6) lösningar.

(4,12) är inte en lösning, däremot är (12,-4) och (4,-12) lösningar.

(6,6) är inte en lösning, däremot är (6, -6) en lösning.

Sammanlagt ger varje primtal 5 lösningar

Notera att (6,-6) kommer från (2p,-2p)

$x=p-1, (p^2-p)$ ger dig den första halvan av det första symmetriska lösningsparet, den andra halvan ges av symmetrirelationen $x=-(p^2-p), y=-(p-1)$.

$x=p^2+p, y=-(p+1)$ ger dig den första halvan av det andra symmetriska lösningsparet, den andra halvan får av du på samma sätt av $x=p+1, y=-(p^2+p)$

Exempel

$p=59$

$(x,y)=(58, 3422), (-3422, -58), (3540, -60), (60, -3540), (118,-118)$

jag kan se att det fungerar genom att testa med olika primtal men jag är inte med på hur man räknar fram de olika värden på x och y som du har fått fram.

Hur får du fram exempelvis x=p-1, y=$\left(p^2-p\right)$ ?

Vi har ju kommit fram till (nu struntar jag i din variabelsubstitution med $z$, men det blir i stort sett samma):

$(p-x)(p+y)=p^2$

Eftersom $p$ är ett primtal var enda sättet för dessa att uppfyllas om faktorerna är $p \cdot p$ (vilket endast gäller vid (0,0), som blir odefinierat, så detta ger inga lösningar, notera dock att om faktorerna är $-p \cdot -p$ får man bättre resultat) eller att $p^{2} \cdot 1$, alltså att den ena faktorn blir lika med $p^{2}$ och den andra lika med ett. En variant på detta är när vänster parentes är lika med $1$ och höger parentes är lika med $p^2$:

$p-x=1$

$p+y=p^2$

Om man löser detta får man att $x=p-1$ samt att $y=p^{2}-p$. Se Guggles inlägg för de övriga lösningarna.