Bestäm A som funktion av x

A som en funktion av x = "Avståndet mellan kurvorna (i y-led) beroende på vilket x vi undersöker (var i koordinatsystemet)". Titta på exempelvis $x=2$. Hur stort är avståndet där? :)

a) Skillnaden (avståndet) mellan två funktioner bestämms på samma sätt som man räknar ut avståndet mellan talet 9 och 5 exempelvis, man tar helt enkelt 9-5=4. Subtraktion brukar kunna tolkas som "avstånd" mellan två saker. I det här fallet så är det avståndet mellan två funktioner, där funktionen g är den "övre" funktionen. Så avståndet mellan de två funktionerna som en funktion av x blir då helt enkelt: $A\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$, testa detta och förenkla uttrycket som du får.

b) Verkar vara ett optimeringsproblem, vi vill veta det minsta värdet A(x) kan anta, och hur gör man det? Man deriverar det och sätter det lika med 0, dvs A'(x)=0 och sedan måste man kontrollera att det blir en minimipunkt och inte en maximipunkt. Lösningen till det (x-värdet) säger då alltså vart skillnaden mellan f och g är som minst, då kan man stoppa in just det x-värdet i f(x) och g(x), räkna ut g(x)-f(x) och sedan räkna ut skillnaden, eller alternativt så stoppar man in det x-värdet i A(x) istället vilket kanske blir ännu enklare, eftersom att den funktionen berättar avståndet mellan f och g i alla punkter men det spelar ingen roll vilken metod du väljer att använda :)

MathematicsDEF skrev:

a) Skillnaden (avståndet) mellan två funktioner bestämms på samma sätt som man räknar ut avståndet mellan talet 9 och 5 exempelvis, man tar helt enkelt 9-5=4. Subtraktion brukar kunna tolkas som "avstånd" mellan två saker. I det här fallet så är det avståndet mellan två funktioner, där funktionen g är den "övre" funktionen. Så avståndet mellan de två funktionerna som en funktion av x blir då helt enkelt: $A\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$, testa detta och förenkla uttrycket som du får.

b) Verkar vara ett optimeringsproblem, vi vill veta det minsta värdet A(x) kan anta, och hur gör man det? Man deriverar det och sätter det lika med 0, dvs A'(x)=0 och sedan måste man kontrollera att det blir en minimipunkt och inte en maximipunkt. Lösningen till det (x-värdet) säger då alltså vart skillnaden mellan f och g är som minst, då kan man stoppa in just det x-värdet i f(x) och g(x), räkna ut g(x)-f(x) och sedan räkna ut skillnaden, eller alternativt så stoppar man in det x-värdet i A(x) istället vilket kanske blir ännu enklare, eftersom att den funktionen berättar avståndet mellan f och g i alla punkter men det spelar ingen roll vilken metod du väljer att använda :)

Jag har ännu inte lärt mig derivata men jag förstår a) nu dock förstår jag inte hur man bestämmer minsta avståndet mellan kurvorna i y-led, hur skulle man bestämma minsta avståndet mellan kurvorna i x-led? 

Smutstvätt skrev:

A som en funktion av x = "Avståndet mellan kurvorna (i y-led) beroende på vilket x vi undersöker (var i koordinatsystemet)". Titta på exempelvis $x=2$. Hur stort är avståndet där? :)

för b) kan man rita den nya funktionen dvs A och bestämma koordinaterna för dess extrempunkt? A:s minsta värdet borde vara avståndet mellan kurvorna i y-led för att funktionen bestämmer avståndet mellan kurvorna i y-led alltså extrempunktens y koordinat är minsta avståndet..?

Nichrome skrev:

MathematicsDEF skrev:

a) Skillnaden (avståndet) mellan två funktioner bestämms på samma sätt som man räknar ut avståndet mellan talet 9 och 5 exempelvis, man tar helt enkelt 9-5=4. Subtraktion brukar kunna tolkas som "avstånd" mellan två saker. I det här fallet så är det avståndet mellan två funktioner, där funktionen g är den "övre" funktionen. Så avståndet mellan de två funktionerna som en funktion av x blir då helt enkelt: $A\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$, testa detta och förenkla uttrycket som du får.

b) Verkar vara ett optimeringsproblem, vi vill veta det minsta värdet A(x) kan anta, och hur gör man det? Man deriverar det och sätter det lika med 0, dvs A'(x)=0 och sedan måste man kontrollera att det blir en minimipunkt och inte en maximipunkt. Lösningen till det (x-värdet) säger då alltså vart skillnaden mellan f och g är som minst, då kan man stoppa in just det x-värdet i f(x) och g(x), räkna ut g(x)-f(x) och sedan räkna ut skillnaden, eller alternativt så stoppar man in det x-värdet i A(x) istället vilket kanske blir ännu enklare, eftersom att den funktionen berättar avståndet mellan f och g i alla punkter men det spelar ingen roll vilken metod du väljer att använda :)

Jag har ännu inte lärt mig derivata men jag förstår a) nu dock förstår jag inte hur man bestämmer minsta avståndet mellan kurvorna i y-led, hur skulle man bestämma minsta avståndet mellan kurvorna i x-led? 

Hmmm, jag undrar hur man skulle kunna lösa det utan derivata, då det gör allt så enkelt om man kan det lol. Men kanske man kan tänka så att de två funktionerna är som närmast varandra när deras lutning är lika, tänk dig att du har en tangentlinje på f(x) och du varierar vart denna linje tangerar, när denna linje tangerar den punkt där f(x) och g(x) är närmast varandra (halvvägs ner till höger om maxpunkten för f(x)) så har ju de samma lutning. Och eftersom att g(x) har samma lutning överallt så kan man försöka hitta det x-värde där f(x) har just lutningen -2. När vi vet det värdet så kan vi bara ta skillnaden mellan y-värdena för de två graferna vid just det x-värdet, så får man det minsta avståndet skulle jag tro.

A(x) = g(x) - f(x) = en förstagradsfunktion - en andragradsfunktion = en andragradsfunktion. Du vet att minimivärdet (eller maximivärdet) ligger på symmetrilinjen. Kommer du ihåg hur man hittar symmetrilinjen med hjälp av pq-formeln?