Bestäm a så att P(x<a) är en halv

Hej!

Det gäller att olikheten $\lvert x\rvert \leq a \iff -a\leq x\leq a$. Så du får att

$P\left(\lvert X\rvert \leq a\right)=P\left(-a\leq X\leq a\right)=\int_{-a}^af_X(x)dx$.

Moffen skrev:

Hej!

Det gäller att olikheten $\lvert x\rvert \leq a \iff -a\leq x\leq a$. Så du får att

$P\left(\lvert X\rvert \leq a\right)=P\left(-a\leq X\leq a\right)=\int_{-a}^af_X(x)dx$.

Förstod inte riktigt vad som hände där 

Vart är "där"? Är det olikheten? Fördelningsfunktionen (som du förövrigt skrivit som en integral med undre gräns som noll istället för $-\infty$ som det bör vara)? Något annat?

Moffen skrev:

Vart är "där"? Är det olikheten? Fördelningsfunktionen (som du förövrigt skrivit som en integral med undre gräns som noll istället för $-\infty$ som det bör vara)? Något annat?

jo jag förstår fördelningsfunktionen, att när vi ska beräkna sannolikheten för något som ligger mellan två värden har vi de som undre/övre gräns men jag förstod inte riktigt olikheten. Förstår inte heller va de menar i uppgiften med att fördelningsfunktionen ska integreras mellan 0 till a, varför 0?

Du kan tänka på absolutbeloppet $\lvert x-x_0\rvert<r$ som "alla punkter $x$ med avstånd mindre än $r$ från $x_0$. I ditt fall har du $\lvert x\rvert = \lvert x-0\rvert$, så att $\lvert x\lvert \leq a$ är alla $x$ med avstånd mindre än eller lika med $a$ från $0$. Det är förhoppningsvis tydligt att alla $x$ sådana att $0\leq x\leq a$ ingår, dom är positiva och har avstånd mindre än eller lika med $a$ från $0$. Men om du ritar så ser du att det är symmetriskt kring $x_0=0$, så även alla $x$ sådana att $-a\leq x\leq 0$ ingår också. Alltså får du ekvivalensen mellan olikheterna $\lvert x\rvert \leq a \iff -a\leq x\leq a$.

Sen ska inte täthetsfunktionen (inte fördelningsfunktionen) integreras från $0$, utan den ska integreras från $-\infty$. Du har att $F\left(a\right)=P\left(X\leq a\right)=\int_{-\infty}^af_X\left(x\right)dx$. Därför får du om du kombinerar detta med $P\left(X\leq -a\right)=\int_{-\infty}^{-a}f_X\left(x\right)dx$ att

$P\left(-a\leq X\leq a\right)=\int_{-\infty}^af_X\left(x\right)dx-\int_{-\infty}^{-a}f_X\left(x\right)dx=\int_{-a}^{a}f_X\left(x\right)dx$.