Bestäm a så att integralen antar sitt största värde.

Välkommen till Pluggakuten!

I denna uppgift är a en konstant, och det är meningen att du ska integrera med avseende på x. Nu har du integrerat med a som variabel, och x som konstant. 

Börja med att låta a stå kvar, som du gjort. Då får du den primitiva funktionen:${\int }_0^1\left(a^3{x}^2-2a^{2}x-3a\right)dx={\left[\frac{a^3{x}^3}{3}-\frac{2a^2{x}^2}{2}-3ax\right]}_0^1$

Sätt in värdena på x, och förenkla uttrycket. Vad får du då?

Du ska inte bara beräkna integralen för de där värdena. Det sätt som kanske är mest rakt på är att beräkna den för alla

${\int }_0^1\left(a^3{x}^2-2a^{2}x-3a\right)dx={\left[\frac{a^3{x}^3}{3}-a^2{x}^2-3ax\right]}_0^1=\frac{a^3}{3}-a^2-3a$

Nu är detta en helt vanlig funktion i a och du ska hitta maximum för denna funktion i intervallet $-3 \le a \le 3$.

så du menar att jag sätter in värde a=3  sedan räknar integralen som vanligt med F(1)-F(0)

Nej du ska inte sätta in något värde på a. Utan du ska beräkna integralen precis som om a vore en konstant. Du kommer då få att integralens värde är en funktion av variabeln a, då ska du maximera den funktionen på precis samma sätt som du alltid gör när du maximerar funktioner.

Okej men om jag har nu funktionen $\frac{a^3}{3}-a^2-3a$

Ska jag hitta värdet av a när funktionen är lika med alla punkter jag kom fram till, vilket jag antar är korrekt gjort. -1, 3 och -3.

d.v.s.  övre funktion = -1, =3 och =-3

Eller ska funktionen deriveras sedan räkna ut F'(x) för varje värde på x när derivatan är lika med 0?

Du ska låta

$f(a) = \frac{a^3}{3} - a^2 - 3a$

och sedan ska du derivera den och leta efter de a som gör att derivatan är noll. Sen ska du undersöka ändpunkterna på intervallet också.

$\frac{a^3}{3}-a^2-3a \to f\text{'}\left(a\right)=a^2-2a-3=0$

Vilket ger a=5

På väg åt rätt håll?

Nja, du har löst ekvationen fel, men du löste exakt den där ekvationen i ditt ursprungliga inlägg.

Lösningarna till $a^2 - 2a - 3 = 0$ är $a = -1$ och $a = 3$, antingen faktoriserar du det eller så använder du pq-formeln för att komma fram till det.

Nu ska du därför undersöka vad $f(a)$ har för värden vid $a = -1$, $a = 3$ och $a = -3$ (eftersom detta är en ändpunkt i intervallet). Där du hittar det största värdet är det a värde som gör integralen störst.

Hur har du fått fram att a = 5? 

Smutstvätt skrev :

Hur har du fått fram att a = 5? 

Av någon anledning så gjorde jag $a^2=3+2a$

Vilket nu i eftertanke fattar jag är ganska dumt, eftersom som sagt jag redan gjort den delen av uppgiften.

Lös ekvationen med PQ/kvadratkomplettering istället! 

Smutstvätt skrev :

Lös ekvationen med PQ/kvadratkomplettering istället! 

Har jag redan gjort, står i orginal posten. -1, 3 och -3

Ah, ursäkta vi missade nog hur du kom fram till ekvationen. Så det du ska göra nu är att beräkna

$f(-3)$, $f(-1)$ och $f(3)$

Du har att

$f(-3) =\hspace{0.17em}\frac{(-3{)}^3}{3}-(-3{)}^2-3·(-3)=-9$

$f(-1) =\hspace{0.17em}\frac{(-1{)}^3}{3}-(-1{)}^2-3·(-1)=\frac{5}{3}$

$f\left(3\right) =\hspace{0.17em}\frac{3^3}{3}-3^2-3·3=-9$

Det största värdet får man alltså då $a = -1$.

Då var det som jag misstänkte, jag överkomplicerade alting igen. Har en tendens att göra det. Tack för all hjälp!