9 svar

129 visningar

Bestäm a så att arean av detta område är 9 areaenheter

Eftersom den räta linjen är derivatan av x² i punkten a kan vi uttrycka det som 2x+m. Den räta linjen skär x axeln i punkten (-m/2, 0), om -m/2 = b får vi alltså att triangelns area(under grafen) är

$\frac{b \times 2 b}{2} = b^{2}$

Arean av den översta delen får vi genom att beräkna integralen i intervallet (0,a) minus triangeln med basen $(a - b)$ och höjden $a ²$ alltså

$\int_{0}^{a} x ² = {[\frac{x ³}{3}]}_{0}^{a} = \frac{a ³}{3} - 0$

Triangelns area:

$\frac{a ² (a - b)}{2}$

Färgade områdets area:

$\frac{a ³}{3} - \frac{a ³ - a ² b}{2}$

Totalt har vi att

$b ² + (\frac{a ³}{3} - \frac{a ³ - a ² b}{2}) = 9$

Eftersom vi har två variabler behöver vi två ekvationer, den andra är

2a +m = a² $\leftrightarrow 2 a + 2 b = a ²$

b = (a²-2a)/2

$(\frac{(a ² - 2 a)}{2}) ² + \frac{a ³}{3} - a ³ - \frac{a ² (a ² - 2 a)}{2} = 9$

Har du en fråga?

Yngve skrev:
Har du en fråga?

ja, om det jag har gjort är korrekt och hur jag ska gå vidare från sista ekvationen

Jag förstår inte riktigt hur du har gjort.

Det känns som att det blir onödigt krångligt.

Ta fasta på det jag skrev i det här svaret.

Om du kallar parabelns ekvation för $f(x)=x^2$ och tangentens ekvation för $g(x)=kx+m$ så blir arean helt enkelt $\int_{0}^{a}(f(x)-g(x))\operatorname dx$

Då behöver du bara bestämma den räta linjens ekvation $g(x)=kx+m$ , vilket du enkelt kan göra iom att du vet att

dess lutning $k$ är lika med $f'(a)$ .
linjen går genom punkten $(a,a^2)$ , vilket ger dig värdet på $m$ .

Yngve skrev:
Jag förstår inte riktigt hur du har gjort.

Det känns som att det blir onödigt krångligt.

Ta fasta på det jag skrev i det här svaret.

Om du kallar parabelns ekvation för $f(x)=x^2$ och tangentens ekvation för $g(x)=kx+m$ så blir arean helt enkelt $\int_{0}^{a}(f(x)-g(x))\operatorname dx$

Då behöver du bara bestämma den räta linjens ekvation $g(x)=kx+m$ , vilket du enkelt kan göra iom att du vet att

dess lutning $k$ är lika med $f'(a)$ .

linjen går genom punkten $(a,a^2)$ , vilket ger dig värdet på $m$ .

och anledningen till att vi subtraherar är för att vi har en area under grafen?

med tangentens ekvation får jag y = 2(x-a)+a²

y = 2x-2a+a²

så m = -2a+a²

Nichrome skrev:

och anledningen till att vi subtraherar är för att vi har en area under grafen?

Nej, det har ingenting att göra med huruvida graferna ligger ivanflr ekler under x-axeln.

Anledningen till att vi subtraherar är att arean mellan två grafer är lika med integralen av (den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen), som jag beskrev tidigare i den tråd jag länkade till nyss.

med tangentens ekvation får jag y = 2(x-a)+a²

y = 2x-2a+a²

så m = -2a+a²

Nej hur kommer du fram till det?

Börja med att derivera $f(x)$ om $f(x)=x^2$ .
Ta sedan reda på vad derivatans värde är i punkten med $x$ -koordinaten $a$ , dvs bestäm $f'(a)$ .
Detta värde är lika med tangentans lutning $k$ .

Yngve skrev:

Börja med att derivera $f(x)$ om $f(x)=x^2$ .

Ta sedan reda på vad derivatans värde är i punkten med $x$ -koordinaten $a$ , dvs bestäm $f'(a)$ .

Detta värde är lika med tangentans lutning $k$ .

derivatan 2x

i a har vi 2a +m

tangentens lutning är 2a alltså, vi får då om m = a²-2a

$\int_{0}^{a} x ² - (2 a + m) d x = 9$

jag hänger inte riktigt med här, får inte ta bort den positiva triangelns area med höjden a² och basen a-(-m/2) från detta eller vad är det för område vi beräknar nu exakt?

Det är fortfarande samma område, om vi vill ta reda på en area som är mellan två olika grafer så måste vi ta arean av den övre minus arean av den undre, annars skulle vi få helt fel area. Detta blir väldigt logiskt om man ritar upp två olika funktioner, arean under den blåa grafen inkluderar allt under grafen ner till x-axeln, så tänk dig att vi också räknar ut arean under den röda grafen och sedan så subtraherar vi bort hela den röda arean från den blåa, då får vi bara kvar arean som är mellan de.

I alla fall så har du kommit långt, vi måste bara ta reda på vad m är, annars kan vi inte lösa det då vi har två okända variabler, den räta linjen är y = kx+m och vi har uttryckt k som 2a, men hur kan vi uttrycka m med hjälp av a?

MathematicsDEF skrev:
Det är fortfarande samma område, om vi vill ta reda på en area som är mellan två olika grafer så måste vi ta arean av den övre minus arean av den undre, annars skulle vi få helt fel area. Detta blir väldigt logiskt om man ritar upp två olika funktioner, arean under den blåa grafen inkluderar allt under grafen ner till x-axeln, så tänk dig att vi också räknar ut arean under den röda grafen och sedan så subtraherar vi bort hela den röda arean från den blåa, då får vi bara kvar arean som är mellan de.

I alla fall så har du kommit långt, vi måste bara ta reda på vad m är, annars kan vi inte lösa det då vi har två okända variabler, den räta linjen är y = kx+m och vi har uttryckt k som 2a, men hur kan vi uttrycka m med hjälp av a?

vi vet att

2a² + m = a²

så m = -a²?

Nichrome skrev:
MathematicsDEF skrev:
Det är fortfarande samma område, om vi vill ta reda på en area som är mellan två olika grafer så måste vi ta arean av den övre minus arean av den undre, annars skulle vi få helt fel area. Detta blir väldigt logiskt om man ritar upp två olika funktioner, arean under den blåa grafen inkluderar allt under grafen ner till x-axeln, så tänk dig att vi också räknar ut arean under den röda grafen och sedan så subtraherar vi bort hela den röda arean från den blåa, då får vi bara kvar arean som är mellan de.

I alla fall så har du kommit långt, vi måste bara ta reda på vad m är, annars kan vi inte lösa det då vi har två okända variabler, den räta linjen är y = kx+m och vi har uttryckt k som 2a, men hur kan vi uttrycka m med hjälp av a?

vi vet att

2a² + m = a²

så m = -a²?

Jovisst

Svara

Visa senaste svar