Bestäm a och b så att f(ax + b) = x+1 (Matematik/Matte 2/Algebra)

Du sätter in ax+b i stället för x i f(x), dvs. i ax+b. Det blir a(ax+b)+b.

Och nu säger de att det ska vara samma som x+1. Vad måste a och b vara då?

Om f(x) = a*x + b så är till exempel:

f(2) = a*2 + b
f(34) = a*34 + b
f(h) = a*h + b
f(h+2) = a*(h+2) + b

Ser du mönstret?

Kan du då skriva ett uttryck för vad f(ax+b) är?

Är möjligen lite överkurs, men man kan använda inversen här till funktionen $f(x)$ :

https://sv.wikipedia.org/wiki/Invers_funktion

$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

$f(ax+b)=x+1$

$f^{-1}(f(ax+b))=f^{-1}(x+1)$

$ax+b=f^{-1}(x+1)=\frac{x+1-b}{a}$

...

Fallet med $a=0$ får behandlas separat.

Laguna skrev:
Du sätter in ax+b i stället för x i f(x), dvs. i ax+b. Det blir a(ax+b)+b.
Och nu säger de att det ska vara samma som x+1. Vad måste a och b vara då?

Det finns fortfarande tre olika variabler... Jag vet inte.

Yngve skrev:
Om f(x) = a*x + b så är till exempel:
f(2) = a*2 + b
f(34) = a*34 + b
f(h) = a*h + b
f(h+2) = a*(h+2) + b
Ser du mönstret?
Kan du då skriva ett uttryck för vad f(ax+b) är?

Ja, sätter in allt inom parentesen där x är. Men det finns fortfarande tre olika variabler.. vet inte var jag ska börja för att räkna ut det.

Hur ser det ut när du har satt in x=ax+b i f(x)? Vi måste se att du har fått till det uttrycket korrekt innan vi kan hjälpa dig vidare. När vi ser att du har fått det uttrycket rätt, kan vi visa dig hur vi skall ta hand om att du har tre olika variabler.

Smaragdalena skrev:
Hur ser det ut när du har satt in x=ax+b i f(x)? Vi måste se att du har fått till det uttrycket korrekt innan vi kan hjälpa dig vidare. När vi ser att du har fått det uttrycket rätt, kan vi visa dig hur vi skall ta hand om att du har tre olika variabler.

f(x) blir a(ax+b)+b och det skall vara lika med x+1.

Då gäller det alltså att koefficienten för x-termen skall vara lika, och konstanttermerna skall vara lika, d v s a² = 1 och ab+b = 1. Två ekvationer och två obekanta. Kommer du vidare?

Smaragdalena skrev:
Då gäller det alltså att koefficienten för x-termen skall vara lika, och konstanttermerna skall vara lika, d v s a² = 1 och ab+b = 1. Två ekvationer och två obekanta. Kommer du vidare?

Hur kommer ni fram till att a² och ab+b = 1? var tog x:et vägen?

edit: jag kan se att man kan omvandla x:et till en etta, men det är efter jag har tittat i facit. Jag förstår HUR man kan göra det, men inte VARFÖR... det had jag nog inte sett själv bara genom att titta på uppgiften.

Om ax+b skall vara lika med cx+d för alla värden på x så krävs det att a = c och att b = d.

Smaragdalena skrev:
Om ax+b skall vara lika med cx+d för alla värden på x så krävs det att a = c och att b = d.

Ja, så långt hänger jag med :)

I det här fallet vet vi att koefficienten för x-termen är a² i vänsterledet och 1 ("osynlig etta") i högerledet, och att konstanttermen är ab+b i vänsterledet och 1 i högerledet.

Smaragdalena skrev:
I det här fallet vet vi att koefficienten för x-termen är a² i vänsterledet och 1 ("osynlig etta") i högerledet, och att konstanttermen är ab+b i vänsterledet och 1 i högerledet.

Men vad händer där? Hur får vi fram ettan? Jag ser att man kan stoppa in 1 och då "få bort" x innanför parentesen, men hur ska man tänka för att få fram den från första början? varför inte 2 eller 4? eller vilket reellt tal som helst?

HL är x+1. Vilken är koefficienten för x-termen?

Vilken parentes pratar du om?

Jag ser inte uttrycket a(ax+b) + b förenklat någonstans. Det måste göras först.

Laguna skrev:
Jag ser inte uttrycket a(ax+b) + b förenklat någonstans. Det måste göras först.

Ja, men har jag a²x+ab+b har jag fortfarande tre olika variabler

Om vi har att kx + m = k’x + m’ - för alla värden på x - så måste k = k’ och m = m’, eller hur?

Så om a²x + ab + b = x + 1, för alla x, så måste det gälla att a² = 1 och ab + b = 1.

Smaragdalena skrev:
HL är x+1. Vilken är koefficienten för x-termen?
Vilken parentes pratar du om?

Förlåt, det gamla "x:et" innanför parentesen, jag menar x-variablen som nu står efter a².

Tror det klickade nu när du skrev koefficienten.
x:et har en osynlig etta framför sig.

Utskrivet tänker jag mig såhär då: $a^{2} \times (1 \times x) + a b + b = (1 \times x) + 1$ (där parenteserna bara är till för att förtydliga vad jag precis förstod)

För att de båda leden måste vara lika, behöver alltså a² vara 1, precis som ab+b... nu förstår jag!

Tackar ödmjukast för all hjälp. Ibland tvivlar jag på att jag någonsin kommer lära mig det här... Har ni tips på något man kan intala sig själv? motivation för att kämpa sig förbi hinder som dessa?

Mvh

PATENTERAMERA skrev:
Om vi har att kx + m = k’x + m’ - för alla värden på x - så måste k = k’ och m = m’, eller hur?
Så om a²x + ab + b = x + 1, för alla x, så måste det gälla att a² = 1 och ab + b = 1.

Ja, tack för hjälpen :) svarade precis i kommentaren ovanför hur jag förstod det nu. Jag tror bara jag behövde höra (eller läsa) något annat än samma ordval om och om igen, även fast det ni säger är helt rätt. Svårt att förklara ibland vad det är som inte klickar och vad som redan är förstått, men igen, tack för hjälpen :)

mvh

Smaragdalena skrev:
HL är x+1. Vilken är koefficienten för x-termen?
Vilken parentes pratar du om?

Då får jag nu $a^{2} \times (1 \times x) + a b + b = (1 \times x) + 1$

Vilket kan skrivas om som: $a^{2} 1 = 1; a b + b = 1$

Därefter får jag: $a^{2} = 1^{2}$ och $\sqrt{a^{2}} = \sqrt{1^{2}}$ vilket blir: a=1
efteråt flyttar jag runt i HL och VL för att få ut b för sig själv:

$1 \times b + b = 1$

$\frac{1 \times b + b}{1} = \frac{1}{1}$

$b + b = 1$

b = 0,5
a = 1

Äntligen...

Hej. Bra.jobbat.

Men du glömde en liten detalj i lösningen, nämligen att ekvationen $a^2=1$ har två lösningar $a=-1$ och $a=1$ .

Du har inte skrivit vad som händer i det fallet att $a=-1$ .

Yngve skrev:
Hej. Bra.jobbat.
Men du glömde en liten detalj i lösningen, nämligen att ekvationen $a^2=1$ har två lösningar $a=-1$ och $a=1$ .
Du har inte skrivit vad som händer i det fallet att $a=-1$ .

Justja, är a=-1 står det att -b+b=1 vilket det inte kan bli, oavsett vilket värde man än sätter in i b.

Tack :)