Bestäm a och b

Ja, så kan du göra.

Du kommer då att få en ekvation där a och b ingår.

Visa din början 

$2(-1-3i)²+a(-1-3i)+5-b=0$

Bra. Utveckla nu kvadraten och samla sedan ihop realdelstermerna för sig och imaginärdelstermerna för sig.

Du kommer då att få ett komplext tal som ska vara lika med 0.

Det innebär att både realdelen och imaginärdelen måste vara lika med 0.

Blir det : $2(-1²-2·1·3i+3i²)$

alltså: $2(1-6i+9i²) när man utvecklat kvadraten$?

$2-6i+9i²$

OliviaH skrev:

Blir det : $2(-1²-2·1·3i+3i²)$

Nej. Använd kvadreringsregeln $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ när du utvecklar kvadraten.

I ditt uttryck är $x=-1$ och $y=3i$, vilket ger dig att $(-1-3i)^2=(-1)^2-2\cdot (-1)\cdot3i+(3i)^2$

Kommer du vidare därifrån?

Blir det 1+6i+9i²?

och när jag multiplicerar med 2 får jag 2+12i+18i² ?

Blir andra delen: a(-1-3i)= -a-3ia ?

OliviaH skrev:

Blir det 1+6i+9i²?

och när jag multiplicerar med 2 får jag 2+12i+18i² ?

Ja, men eftersom i² = -1 så blir det -16+12i.

Blir andra delen: a(-1-3i)= -a-3ia ?

Ja, det stämmer.

vad gör jag med +5 och -b?

Visa hur din ekvation ser ut när du förenklat och samlat ihop enligt mitt tidigare tips.

Vad är då vänsterledets realdel och vad är vänsterledets imaginärdel?

Båda dessa delar måste vara lika med 0 för att det komplexa talet ska vara lika med 0.

-16+5-a-b= 0 ger -11-4-b därmed blir b= -15

a=4

12-3a= 0 ger a=4

OK då återstår bara sista steget, nämligen att kontrollera din lösning.

Med a = 4 och b = -15 blir ekvationen

2z²+4z+20 = 0

Är z = -1-3i en lösning till den ekvationen?

det går inte riktigt ihop..

Bra att du kollar. Då har det blivit fel någonstans.

Vi backar ett par steg. Läs mitt svar#10 igen, dvs visa hur ekvationen ser ut efter förenkling.

kan det bli att a= -4 och b=-7?

$-16-12i-(-4)-3i(-4)+5-(-7)=0$

$=-16-12i+4+12i+5+7=0$?

Om a = -7 och b = 14 så blir ekvationen 2z²-7z+5-14 = 0, dvs 2z²-7z-9 = 0

Kontrollera om detta stämmer genom att lösa den ekvationen, antingen med pq-formeln eller genom kvadratkomplettering. Blir en av lösningna då z = -1-3i?

a måste vara 4 om det ska kunna bli -1 som en lösning efter pq-formeln? 

Ja det stämmer.

Här är ett förslag på en enklare lösning och framför allt på ett enklare sätt att kontrollera lösningen.

Ursprungsekvationen är $2z^2+az+5-b=0$

Vi löser ekvationen och bestämmer sedan a och b så att ena lösningen blir $z = -1-3i$:

$z^2+\frac{a}{2}z+\frac{5-b}{2}=0$

$z=-\frac{a}{4}\pm\sqrt{\frac{a^2}{16}-\frac{5-b}{2}}$

Eftersom en av lösningarna ska vara $z = -1-3i$ så måste det gälla att $-\frac{a}{4}=-1$, dvs att $a=4$.

Imaginärdelen -3 får vi om $\frac{a^2}{16}-\frac{5-b}{2}=-9$, dvs om $1-\frac{5-b}{2}=-9$, dvs om $\frac{5-b}{2}=10$, dvs om $b=-15$.

Så här långt kom även du i svar #11 men sen blev det fel vid kontrollen av lösningen.

Ett enkelt sätt att kontrollera lösningen är följande:

Om a = 4 och b = -15 så lyder ursprungsekvationen $2z^2+4z+5-(-15)=0$, dvs $2z^2+4z+20=0$.

Vi löser nu ekvationen och ser om en av lösningarna är z = -1-3i:

$z^2+2z+10=0$

$z=-1\pm\sqrt{1^2-10}$

$z=-1\pm\sqrt{-9}$

$z=-1\pm3i$

Det stämmer.

Alltså är svaret a = 4 och b =-15.

Alternativt utvecklar man:

$2((z-(-1-3i))(z-(-1+3i)))=...$
och identifierar koefficienter.