Bestäm a (Matematik/Matte 5/Differentialekvationer)

Hej!

För det första tror jag att ekvationen ska vara:

$y+2y'+5y=0$

Det går att ta fram den allmänna lösningen som du gjort. Om du får:

$r=\alpha\pm \beta i$ gäller att konstanten $a=\Im{(r)}=\beta$ (imaginärdelen)

Dock är det enklare att bara derivera den föreslagna lösningen och sätta in i ekvationen för att bestämma konstanten $a$ .

Kan du visa hur? Jag förstår inte riktigt

Det ska vara y’ ursäkta. Såhär har jag räknat men kan jag lägga ihop -1* 2i? Och -1-i? Och för att få fram a ska jag då derivera detta?

Dina derivator stämmer inte.

Funktionen y = e^-x•sin(ax) är en produkt av de två funktionerna e^-xoch sin(ax), så du måste använda produktregeln (fg)' = f'g+fg' för att derivera den.

Andraderivatan blir då (fg)'' = (f'g+fg')' = f''g+f'g'+f'g'+fg'' = f''g+2f'g'+fg''

Nu förstår jag inte riktigt. Ska jag inte börja med y’’+2y’+5y=0?

Nej det är onödigt arbete att försöka lösa själva diffekvationen.

Du ska visa att den givna funktionen är en lösning till just den diffekvationen.

Då räcker det med att du sätter in funktiosuttrycket och dess derivator i diffekvationen och visar att det stämmer.

Det är ofta mycket enklare än att lösa själva diffekvationen.

=======

Jämför följande uppgift:

"Visa att x₁ = -2, x₂ = 1 och x₃ = 3 är lösningar till ekvationen x³-2x²-5x+6 = 0."

Då är det mycket enklare att sätta in rötterna en och en i ekvationen och visa att det stämmer än att lösa tredjegradsekvationen, eller hur?

Det är precis samma sak här, med din diffekvation.

Så jag ska börja med att derivera e^-x*sinax med produktregeln?

alltså e^-x* cos(ax) + -e^-x* sin(ax)=0

Hur fortsätter jag?

Julialarsson321 skrev:
Så jag ska börja med att derivera e^-x*sinax med produktregeln?

Ja

alltså e^-x* cos(ax) + -e^-x* sin(ax)=0

Hur fortsätter jag?

Nej, det blev inte helt rätt.

Derivatan av sin(ax) är a•cos(ax).

Och det ska inte stå "=0" efter det uttrycket.

Det betyder att y' = a•e^-x•cos(ax)-e^-x•sin(ax)

Ta nu fram ett uttryck för andraderivatan y''.

Du kan då görna ta hjälp av det jag skrev i svar #5, där f = e^-x och g = sin(ax).

Gör sedan en "faktaruta" där du skriver uttrycken för f, f' och f'' samt g, g' och g''.

Sedan kan du plocka ihop uttrycket för andraderivatan från denna faktaruta

Såhär?

Julialarsson321 skrev:
Såhär?

Det fanns ingen bild med.

Oj förlåt

Allt stämmer förutom ditt uttryck för f''.

f'' är ju derivatan av f'.

Eftersom f' = -e^-x, så blir f'' = -(-e^-x) = e^-x.

Är du med på det?

Yes nu ser jag det

Så de blir e^-x*sin(ax)+2-e^-xacos(ax) +e^-xa^2-sin(ax)? Och sen ska jag bryta ut a?

Ja, men du måste sätta parenteser runt exponenterns så att det blir tydligt vad du menar.

Okej, men jag förstår inte hur jag ska bryta ut a skulle du kunna visa det?

Nej du behöver inte bryta ut a. Du kan istället bryta ut e^-xom du vill.

Men tänk på att detta uttryck endast är y'', dvs första termen I diffekvationens vänsterled.

(e^-x)*sin(ax)+2(-e^-x)acos(ax) +(e^-x)a^2-sin(ax)

bryter ut e^-x

e^-x( sin(ax) -2acos(ax) + a^2-sin(ax)

och sen?

Det är rätt, men skriv istället sp hör:

e^(-x)•(sin(ax)-2a•cos(ax)-a^2•sin(ax)

Nu kan du ersätta y'' i diffekvationen med detta uttryck, samtidigt som du ersätter y' med det uttrycket från svar #9 och y med det givna uttrycket.

Visa att vänsterledet då får värdet 0 så är du klar

e^(-x)•(sin(ax)-2a•cos(ax)-a^2•sin(ax) + 2(a•e-x•cos(ax)-e-x•sin(ax)) +5(e^-x*sin(ax) =0?

Vad gör jag för fel?

Julialarsson321 skrev:
Vad gör jag för fel?

Du glömmer faktorn e^-x på ett ställe och förutsätter att vissa faktorer är lika med 0 på raden under, se bild:

======= Förslag till lösning ======

y = e^-x•sin(ax) = fg, där

f = e^-x
f' = -e^-x
f'' = e^-x
g = sin(ax)
g' = a•cos(ax)
g'' = -a²•sin(ax)

Det ger oss

y' = (fg)' = f'g+fg' = -e^-x•sin(ax)+e^-xa•cos(ax) = e^-x(a•cos(ax)-sin(ax))

y'' = (f'g+fg')' = f''g+2f'g'+fg'' = e^-x•sin(ax)-2e^-x•a•cos(ax)-e^-x•a²•sin(ax) = e^-x((1-a²)sin(ax)-2a•cos(ax))

Om vi nu sätter in detta i diffekvationen y''+2y'+5y = 0 så får vi

e^-x((1-a²)•sin(ax)-2a•cos(ax))+e^-x•(2a•cos(ax)-2•sin(ax))+e^-x•5•sin(ax) = 0

Faktorisera ut den gemensamma faktorn e^-x i vänsterledet:

e^-x((1-a²)•sin(ax)-2a•cos(ax)+2a•cos(ax)-2•sin(ax)+5•sin(ax)) = 0

Termerna med cos(ax) tar ut varandra och faktorn e^-x blir aldrig lika med 0, vilket ger oss ekvationen.

(1-a²)•sin(ax)-2•sin(ax)+5•sin(ax) = 0

Vi faktoriserar ut sin(ax) i vänsterledet:

sin(ax)•(1-a²-2+5) = 0, dvs sin(ax)•(4-a²) = 0

För att denna ekvation ska vara uppfylld för alla värden på x så måste det gälla att 4-a² = 0, dvs att a = $\pm$ 2.

Okej nu förstår jag. Blir svaret då a= +- 2 eller blir det 2 svar, a1= 2 och a2= -2?

Det är ingen skillnad.

Drt finns två möjliga värden på a som gör att diffekvationen är uppfylld.

Hej, förstår inte hur du fick att

e^-x * sin(ax)-2e^-x * a*cos(ax)-e^-x *a^2*sin(ax) = e^-x((1-a^2)sin(ax)-2a*cos(ax))

Multiplicerar man in e^-x I HL så blir det väl -2e^-x* a* cos(ax) -e^-x*a^2*sin(ax) ? Dvs. VL ≠ HL? Var tar första termerna vägen som jag markerat?