Bestäm a

Det ser rimligt ut. Nu kan du använda dig av att det finns $-7\pi$ i HL, men ingen term som inte har pi i sig. Då kan du köra matchning för att bestämma a. Vad ska $1^a·a\mathrm{\pi cos}\left(a\mathrm{\pi }·1\right)=a\mathrm{\pi cos}\left(a\mathrm{\pi }\right)$ vara lika med för att matcha termen av samma sort i HL? :)

Då måste a vara a=1 om VL och HL ska matcha

Blir det? Då får vi väl 

$$\begin{gathered} 1·1^{1-1}·\sin \left(1\mathrm{\pi }\right)+1^1·\cos \left(1\mathrm{\pi }\right)·1= \\ 0+1·\left(-1\right)·1=-1 \end{gathered}$$

? 

Tänk såhär: Titta på $1^a·a\mathrm{\pi cos}\left(a\mathrm{\pi }\right)·1$-termen. Den termen kommer att innehålla en faktor pi, och ska därför matcha $7\pi$-termen i HL.

Nu gör vi samma sak för $a·1^{a-1}·\sin \left(a\mathrm{\pi }\right)$-termen. Den ska bli noll, eftersom den inte kommer att innehålla en faktor pi (om inte a är pi, men då kommer den andra termen innehålla en faktor $\pi^2$‚ och någon sådan finns inte i HL). Vi kan åstadkomma detta genom att antingen sätta a till noll, eller genom att sätta så att $\sin \left(a\mathrm{\pi }\right)$ blir noll. 

Om a är noll blir hela VL noll, så det fungerar inte så bra, så vi får satsa på att få $\sin \left(a\mathrm{\pi }\right)$ till noll istället. 

Vi har nu ett ekvationssystem vi kan ställa upp: 

$\left\{\begin{array}{l}a·1^{a-1}·\sin \left(a\mathrm{\pi }\right)=0\\ 1^a·a\mathrm{\pi cos}\left(a\mathrm{\pi }\right)·1=-7\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

Vi kan förenkla den första ekvationen, enligt vår spaning i föregående stycken, till $\sin \left(a\mathrm{\pi }\right)=0$, och den andra ekvationen kan förenklas lite grann, till $a\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=-7$. 

Hmmm, okej, så vi har alltså ekvationssystemet 

$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(a\mathrm{\pi }\right)=0\\ a\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=-7\end{array}\right.$

Vi kan lösa detta strikt algebraiskt, men det är jobbigt och onödigt. Lättare är istället att observera följande: värdet av $\cos \left(x\right)$ varierar mellan -1 och 1. Vi kommer alltså att behöva ett a som är minst lika med 7, eller mindre än eller lika med -7.

Alla heltalsvärden på a kommer att uppfylla ekvation ett, så där behöver vi inte oroa oss. Alla heltalsvärden på a ger även att cosinusuttrycket är antingen -1 eller 1. Frågan är bara om vi kan välja a så att vi får respektive värden, och vad som då händer med a. Vi börjar med cosinusvärdet -1, kan vi hitta ett a så att $\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=-1$ och $a\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=-7$? Tja, genom att kombinera ekvationerna kan vi komma fram till att $a=7$ verkar fungera. Genom att testa detta värde kan vi bekräfta att $a=7$ mycket riktigt är en lösning.  

Vi undersöker nu vad som händer om cosinusuttryckets värde är 1. Vi ska då alltså hitta ett värde på a som uppfyller att$\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=1$ och $a\cos \left(a\mathrm{\pi }\right)=-7$. Med hjälp av samma metod som ovan får vi att $a=-7$. Vi sätter in detta a och provar: 

$$\begin{gathered} \left(-7\right)·\cos \left(-7\mathrm{\pi }\right)\stackrel{?}{=}-7 \\ \left(-7\right)·\left(-1\right)=7\ne -7 \end{gathered}$$

$a=-7$ är alltså inte ett möjligt värde på a. 

(Denna felaktighet uppkommer av att vi utgick från att de två ekvationerna hade någon gemensam lösning, vilket inte är korrekt. När vi sedan kombinerade de två ekvationerna fick vi en motsägelse.)

Svar: a = 7 fungerar. :)