Bestäm A

Rita en skiss av grafen!

Punkten (1/2, -2) ligger inte på kurvan.

y'(1/2) är lutningen på den tangent som tangerar kurvan i punkten (1/2, 1/4) och har därmed inget med problemställningen att göra.

Men det är ju en och samma tangent som går igenom både punkt A och punkt (a,a^2)??

Så ser grafen ut men förstår ändå inte vad du menar 

För att förtydliga för dig vad det är jag inte förstår så brukar jag tänka på den uppgiften som är väldigt likadan med den här uppgiften

Man kan säga att uppgifterna är identiska. Så varför löser man inte uppgifterna på samma sätt? Vad är skillnaden i det här fallet?

I uppgift 12 ligger punkten P på kurvan. I den första uppgiften ligger inte punkten (½,-2) på kurvan.

Det är (nästan) alltid bra att rita. Om man gör det, skulle man se den fundamentala skillnaden mellan dessa båda uppgifter. Det syns inte om man bara läser uppgiften.

Som du skriver så kan det vara väldigt bra att rita. 
Jag har ”ritat” två st grafer till varje fråga. 

1) Frågan som handlar om ”bestäm A” 

I det här fallet är punkt A (den punkt som ligger på funktionen) det okända och det man vill beräkna. 

-

I uppgift 12 så är punkten P känd. Däremot punkten Q som också ligger på grafen okänd. Tangenten i det här borde ha samma K värde. Och punkterna ska vara 

(x,x^3 +1)

I uppgift 12 vet du x-värdet för den punkt du vill veta derivatan för. Då kan du derivera funktionen, sätta in x-värdet och få fram lutningen.

I den första uppgiften vet du inte x-värdet för den punkt du vill veta derivatan för. Då har du inget x-värde du kan sätta in i derivatan.

Det känns inte riktigt att jag direkt förstår vad du menar. Skulle du kunna ge enkla exempel på det du menar?

1) Beräkna ekvationen för den tangent till f(x)=x² som går genom punkten (0,0).

2) Beräkna ekvationen för den tangent till f(x)=x² som går genom punkten (5,0).

Jag ser ingen skillnad mellan frågorna. De är helt identiska. Vad är skillnaden mellan dessa frågor?

Man kan välja lite andra punkter, för de här råkar ha samma svar (vilket visserligen har sin egen pedagogiska poäng). 

Vad sägs om (1, 1) respektive (3, 1)?

Smaragdalena skrev:

1) Beräkna ekvationen för den tangent till f(x)=x² som går genom punkten (0,0).

2) Beräkna ekvationen för den tangent till f(x)=x² som går genom punkten (5,0).

Okej. Jag ska besvara frågan. 
1) f(x)= x^2 

2x=f’(x)

f’(0)=2*0=0 -> k värde då x=0 

alltså 

y=kx+m 

y= 0*k+m 

Svar : y=m 

2) 

f(x)=x^2

f’(x)=2x

f’(5)=2*5=10 -> k värdet 

y=10x+m 

0=10*5+m 

m=-50

y=10x-50 

-

Vad hjälper detta mig med?

I (1) får du säga vad m är också. 

I (2), är du säker på att din linje tangerar kurvan? 

1) m=0 

2) Nej nu inser jag att tangenten inte kan tangera funktionen f(x). För 5^2 är 25 och inte 0 . 

men vad hjälper det här mig med?

men vad hjälper det här mig med?

Jag försöker visa att man måste lösa de båda ekvationerna på olika sätt, fastän de ser så lika ut. Du ville ju ha några enklare exempel på just detta.

Men jag förstår fortfarande  inte vad det ska ge mig....?

Förståelse för att två uppgifter som vid första anblicken ser likadana ut behäver lösas på olika sätt. Det är ju det du har undrat om i hela tråden, eller hur?

Lisa14500 skrev:

Men jag förstår fortfarande  inte vad det ska ge mig....?

Det ska ge dig insikten att den metod du har använt för att lösa problemet inte fungerar.

I bilden har jag ritat graferna tii $y=x^2$ och $y=10x-50$.

Som du ser så har de två graferna inga gemensamma punkter. Den räta linjen är inte en tangent till parabeln.

Det betyder att ekvationen $y=10x-50$ inte beskriver den tangent som efterfrågades.

Är du med på det?

Nej. Jag är inte med på det. För jag förstår ingenting

Frågan löd så här: "2) Beräkna ekvationen för den tangent till f(x)=x^2 som går genom punkten (5,0)."

Din lösning lyder:

f(x)=x^2

f’(x)=2x

f’(5)=2*5=10 -> k värdet 

y=10x+m 

0=10*5+m 

m=-50

y=10x-50 

Din lösning fungerar inte. Den linje du har kommit fram till är inte en tangent till f(x).

1. Förstär du att din lösning inte fungerar?
2. Förstår du varför din lösning inte fungerar?

Yngve skrev:

Frågan löd så här: "2) Beräkna ekvationen för den tangent till f(x)=x^2 som går genom punkten (5,0)."

Din lösning lyder:

f(x)=x^2

f’(x)=2x

f’(5)=2*5=10 -> k värdet 

y=10x+m 

0=10*5+m 

m=-50

y=10x-50 

Din lösning fungerar inte. Den linje du har kommit fram till är inte en tangent till f(x).

1. Förstär du att din lösning inte fungerar?
2. Förstår du varför din lösning inte fungerar?

1. Nej jag förstår inte varför lösningen inte fungerar

2. Jag fattar inte heller varför den inte skulle fungera. 

Tacksam om du kunde förklara det för jag känner mig helt vilse, jag ser ingen skillnad på någon av uppgifterna jag som lagt upp i den här tråden

Lisa14500 skrev:

Yngve skrev:

...

Din lösning fungerar inte. Den linje du har kommit fram till är inte en tangent till f(x).

1. Förstär du att din lösning inte fungerar?
2. Förstår du varför din lösning inte fungerar?

1. Nej jag förstår inte varför lösningen inte fungerar

2. Jag fattar inte heller varför den inte skulle fungera. 

...

OK vi får nog ta det från början..Första.steget är att förstå att svaret är fel och att det visar att lösningen även är fel.

1. Anser du att ekvationen $y=10x-50$ beskriver en tangent till $f(x)=x^2$ och att den tangenten går genom punkten $(5,0)$?

Om vi har en funktion f(x)=x^2 

så är derivatan vid e valfri punkt x lika med 

f’(x)=2x

om x=5 

då blir lutningen 

f’(5)=2*5=10

nästa steg blir att hitta m värdet 

y=10x+m 

vi använder punkten (5,0) 

0=10*5+m 

m=-50

alltså ja det borde stämma

Om det ska stämma, dvs om linjen $y=10x-50$ ska vara en tangent till parabeln $y=x^2$, så måste det finnas en tangeringspunkt som är gemensam för de båda kurvorna.

Vilken är då denna tangeringspunkt?

Dvs i vilken punkt tangerar linjen $y=10x-50$ parabeln $y=x^2$?

10x-50=x^2

Ekvationen ger inga reella lösningar. Hur ska man veta när den metoden ska användas och när den inte ska användas?

En sak i taget. Förstår du att svaret är fel?

Nej

Tror du alltså att svaret är rätt, dvs att linjen $y=10x-50$ är en tangent till parabeln $y=x^2$?

Nej för att du skrev från början att det är fel. Men jag förstår inte varför

För att linjen aldrig kommer i närheten av kurvan. En tangent måste tangera, d v s vidröra kurvan i en punkt.

Ja men hur ska man veta vilken metod som ska användas när man får en sån fråga?

Lisa14500 skrev:

Nej för att du skrev från början att det är fel. Men jag förstår inte varför

Alldeles nyss svarade du nej på frågan om du förstår att det är fel. Men nu skriver du nu att du förstår att det är fel.

Jag blir förvirrad och vet inte hur jag ska kunna hjälpa dig eftersom jag inte vet vad du förstår och vad du inte förstår.

Det underlättar för oss att hjälpa dig om du svarar på vad vi faktiskt frågar, och inte på något annat.

Jag ska nu förtydliga det jag har förståtts jag har läst igenom tråden och försökt själv reflektera över skillnaden mellan de 2 uppgifterna. 

1) När det i en uppgift står att två grafer tangerar varandra så gäller det 2 saker. 

• f(x)=g(x) 
• f’(x)=g’(x) 

2) Om det istället står att en eller 2 grafer/linjer går igenom en punkt. Så ska man första derivera funktionen. Om vi till exempel har funktionen f(x)=x^2 och deriverar funktionen så blir det f’(x)=2x . 

Om vi tex i frågan har fått en punkt tex (1,2) så blir den andra punkten (x,x^2). Delta y/delta =k . 

Lisa14500 skrev:

Jag ska nu förtydliga det jag har förståtts jag har läst igenom tråden och försökt själv reflektera över skillnaden mellan de 2 uppgifterna. 

1) När det i en uppgift står att två grafer tangerar varandra så gäller det 2 saker. 

• f(x)=g(x) 
• f’(x)=g’(x) 

Om vi kallar tangeringspunktens x-koordinat för x så stämmer det du har skrivit.

Jag föreslår att du kallar tangeringspunkten för $(x_1, y_1)$ så blir det tydligt vad som menas med att följande gäller:

• $f(x_1)=g(x_1)=y_1$
• $f'(x_1)=g'(x_1)$

2) Om det istället står att en eller 2 grafer/linjer går igenom en punkt. Så ska man första derivera funktionen. Om vi till exempel har funktionen f(x)=x^2 och deriverar funktionen så blir det f’(x)=2x . 

Om vi tex i frågan har fått en punkt tex (1,2) så blir den andra punkten (x,x^2). Delta y/delta =k . 

Jag är osäker på vad du menar här.

I mitt första exempel så framgår det i uppgiften att en graf går igenom en viss punkt.  När en viss graf går igenom en punkt så gäller det alltid

att 

• f(x)=g(x)

•f’(x)=g’(x) 

det vill säga graferna har samma lutning vid ett visst värde på x. Och samma (x,y) punkt. 

—

I det andra fallet så tangerar graferna endast en viss punkt i en graf. I det här fallet så måste man använda sig av en annan metod. 

Oftast brukar det vara endast en punkt som är angiven i uppgiften. Av den anledningen så döper vi den andra punkten (x,y) . Vi kan derivera den givna funktionen för att få k värdet. Därefter kan vi utnyttja sambandet delta(y)/delta(x) och sätta det lika med k värdet so vi fått när vi beräknade derivatan av funktionen 

Ja det kan vara så att du förstår hur det hänger ihop nu.

Vi kan ju pröva om detta stämmer genom att hitta på två olika uppgifter och så ser vi om du kan lösa dem:

Uppgift 1: Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar kurvan $y=x^2$ i punkten $(2, 4)$.

Uppgift 2: A är en punkt med koordinaterna $(a,a^2)$ som ligger på kurvan $y=x^2$. Bestäm ekvationen för den tangent/de tangenter som går igenom punkten A och punkten $(-2,0)$.

Uppgift 1) 

y=x^2

y’=2x

y’(2)=2^2=4 -> k värdet

y=4x+m 

4=4*2+m 

4-8=-4=m

svar : ekvationen blir y=4x-4

-

2) Jag väljer att kalla punkten (a,a^2) för (x,x^2) . 
I det här fallet har vi 2 angivna punkter. 
(x,x^2) och (-2,0).

K värdet eller rättare sagt derivatan/lutningen av funktionen f(x) kommer ge oss lutningen vid en viss punkt x. 

y=x^2 

y’=2x 

Vi vet att lutningen även kan beräknas genom att ta delta (y)/delta (x) =k 

Vi har 2 angivna punkter.

• (x,x^2)
• (-2,0) 

(x^2-0)/(x+2)=2x 

ekvationen ger oss 2 lösningar på x. 
x1=-4 och x2=0

vilket betyder att det kommer finnas 2 tangenter. 

Om jag sätter in x=-4  i funktionen f(x) då får jag ett y värde på 16. Vilket ger oss en punkt (-4,16). 
k värdet är

y’(-4)=2*-4=-8

y=-8x+m 

16=-8*(-4)+m 

m=-16

Svar :  

y=-8x-16

—————

Ekvation 2 har punkten (0,0) 

y=k*0+m

y=m=0 

ekvation2 blir alltså y=0. 

Allt stämmer. Bra!