Beskriva samband mellan två olika riktningskoefficienter?

Har du försökt rita en bild med ett koordinatsystem?

intekul123 skrev:

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift från boken Exponent 5. Jag har inte haft några problem med tidigare uppgifter, men jag har ingen aning överhuvudtaget hur man ens bör börja på denna uppgiften. Uppgiften är följande:

Riktningskoefficienten för tangenten till en viss funktion $y=f\left(x\right)$ i punkten $(x, y)$ är två tredjedelar av riktningskoefficienten för den räta linjen genom punkten och origo. Beskriv sambandet med en differentialekvation.

---

Jag skulle uppskatta om någon kunde hjälpa mig med hur man ska börja på denna uppgift. Tack!

Hej och välkommen till Pluggakuten!

1. Beskriv riktningskoefficienten för tangenten i punkten (x, y) med hjälp av derivatan f'(x).
2. Beskriv riktningskoefficienten för linjen genom tangeringspunkten och origo med hjälp av funktionsuttrycket f(x).
3. Uttryck sambandet mellan uttrycken i 1 och 2 med hjälp av uppgiftslydelsen.

Egocarpo skrev:

Har du försökt rita en bild med ett koordinatsystem?

Jag provade att rita den och även att lägga in den i desmos. Det fick mig att förstå lite bättre, men jag tror inte att jag kan komma fram till ett korrekt svar.

intekul123 skrev:

Egocarpo skrev:

Har du försökt rita en bild med ett koordinatsystem?

Jag provade att rita den och även att lägga in den i desmos. Det fick mig att förstå lite bättre, men jag tror inte att jag kan komma fram till ett korrekt svar.

Försök att följa 1/2/3-tipsen i mitt förra svar.

Visa dina tolkningar.

Yngve skrev:

Hej och välkommen till Pluggakuten!

1. Beskriv riktningskoefficienten för tangenten i punkten (x, y) med hjälp av derivatan f'(x).
2. Beskriv riktningskoefficienten för linjen genom tangeringspunkten och origo med hjälp av funktionsuttrycket f(x).
3. Uttryck sambandet mellan uttrycken i 1 och 2 med hjälp av uppgiftslydelsen.

Tack!

Jag antar att sambandet ska se ut på följande sätt: $f\text{'}\left(x\right)=kf\left(x\right)$. Då $f\text{'}\left(x\right)$ ska vara $\frac{2}{3}$ av $f\left(x\right)$, så antar jag också att $k=\frac{2}{3}$. D.v.s. att sambandet blir detta: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}f\left(x\right)$

Är det rätt? För mig så känns det som att det blir helt fel.

intekul123 skrev:

Yngve skrev:

Hej och välkommen till Pluggakuten!

1. Beskriv riktningskoefficienten för tangenten i punkten (x, y) med hjälp av derivatan f'(x).
2. Beskriv riktningskoefficienten för linjen genom tangeringspunkten och origo med hjälp av funktionsuttrycket f(x).
3. Uttryck sambandet mellan uttrycken i 1 och 2 med hjälp av uppgiftslydelsen.

Tack!

Jag antar att sambandet ska se ut på följande sätt: $f\text{'}\left(x\right)=kf\left(x\right)$. Då $f\text{'}\left(x\right)$ ska vara $\frac{2}{3}$ av $f\left(x\right)$, så antar jag också att $k=\frac{2}{3}$. D.v.s. att sambandet blir detta: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}f\left(x\right)$

Är det rätt? För mig så känns det som att det blir helt fel.

Nej det stämmer inte.

Jag rekommenderar att du följer tipsen du fått steg för steg istället för att gissa på en lösning.

Skriv vad du tror jag frågar efter vid punkt 1, punkt 2 och punkt 3.

Yngve skrev:

Nej det stämmer inte.

Jag rekommenderar att du följer tipsen du fått steg för steg istället för att gissa på en lösning.

Skriv vad du tror jag frågar efter vid punkt 1, punkt 2 och punkt 3.

Okej,

I punkt 1 så vet jag inte riktigt hur jag kan beskriva riktningskoefficienten med hjälp av derivatan f'(x)

Men riktningskoefficienten i punkt 2 antar jag kan beskrivas som $\frac{y}{x}$, då $\frac{∆y}{∆x}=\frac{y-0}{x-0}=\frac{y}{x}$

intekul123 skrev:

Okej,

I punkt 1 så vet jag inte riktigt hur jag kan beskriva riktningskoefficienten med hjälp av derivatan f'(x)

Men riktningskoefficienten i punkt 2 antar jag kan beskrivas som $\frac{y}{x}$, då $\frac{∆y}{∆x}=\frac{y-0}{x-0}=\frac{y}{x}$

Bra, nu kör vi!

Punkt 1: Det finns ett väldigt enkelt och grundläggande samband mellan en funktions derivata f'(x) i en viss punkt och lutningen på den linje som tangerar kurvan i den punkten. Kommer du på vad detta samband är? Tips: Vad är egentligen en derivata?

Punkt 2: Toppen. Helt rätt. Kan du nu uttrycka denna kvot med hjälp av bara x och f(x)?

Yngve skrev:

Bra, nu kör vi!

Punkt 1: Det finns ett väldigt enkelt och grundläggande samband mellan en funktions derivata f'(x) i en viss punkt och lutningen på den linje som tangerar kurvan i den punkten. Kommer du på vad detta samband är? Tips: Vad är egentligen en derivata?

Punkt 2: Toppen. Helt rätt. Kan du nu uttrycka denna kvot med hjälp av bara x och f(x)?

Punkt 1: Det enda sambandet mellan en funktions derivata f'(x) i en viss punkt och lutningen på den linje som tangerar kurvan i den punkten, är väl deras lutning, d.v.s. deras k-värde?

Punkt 2: Ja, det blir: $\frac{f\left(x\right)}{x}$

"Riktningskoefficienten för tangenten till en viss funktion y=f(x) i punkten (x, y) är två tredjedelar av riktningskoefficienten för den räta linjen genom punkten och origo."

Du är nästan där jämför deras lutningar med detta sambandet. 

Egocarpo skrev:

"Riktningskoefficienten för tangenten till en viss funktion y=f(x) i punkten (x, y) är två tredjedelar av riktningskoefficienten för den räta linjen genom punkten och origo."

Du är nästan där jämför deras lutningar med detta sambandet. 

Då derivatan till $f\left(x\right)$ är $f\text{'}\left(x\right)$, och riktningskoefficienten för den räta linjen genom punkten och origo är $\frac{f\left(x\right)}{x}$, så bör sambandet bli $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2f\left(x\right)}{3x}$

Det tycker jag med. f'(x)=k*2/3, där k är lutningen för den raka linjen som var y=kx => k=y/x=f(x)/x.

intekul123 skrev:

Då derivatan till $f\left(x\right)$ är $f\text{'}\left(x\right)$, och riktningskoefficienten för den räta linjen genom punkten och origo är $\frac{f\left(x\right)}{x}$, så bör sambandet bli $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2f\left(x\right)}{3x}$

Ja just så. Bra!

Sen kan man tycka att det är snyggare att skriva denna diffekvation som $3x\cdot f'(x)=2f(x)$ eller $x\cdot f'(x)=\frac{2}{3}\cdot f(x)$

Tack så mycket till båda av er för er hjälp. Svaret till uppgiften känns ganska uppenbart nu när uppgiften är löst!