Beskriv samband med formel

Okej, jag lyckades hitta ett samband.

3n+4 är ett korrekt svar.

Men jag kan inte säga annat än att det bara var tur. Hur kan jag räkna mig fram till sambandet utan att forcera det?

Jag börjar med att lista ut hur många prickar det ökar med
Just i detta fall så är det 3

Jag kan skriva upp en liten ekvation:

I figur 2 ska det vara totalt 10 prickar
Alltså om jag tar 3*2 + C, där c är en konstant så ska jag få 10
$$\begin{gathered} ökar med 3 \\ Totalt prickar\hspace{0.17em}= 3n+C \\ 10=3\times 2+C \\ 10=6+C \\ 10-6=C \\ 4=C \\ alltså blir det 3n+4 \end{gathered}$$

Om figurens nummer är n har översta raden alltid n + 1 stycken prickar. Understa raden likaså.
Mittenraden har alltid n + 2 stycken prickar.
Addera.

Alternativt kan du titta på delmönstret
    o
o
    o

Det finns n + 1 stycken sådana i varje figur + en ensam prick till höger.

Okej, tack. Men först måste vi ju då komma fram till att man skall ta n*3. Hur kommer vi fram till det utan att pröva oss fram eller ha förmågan att bara se det?

Louis skrev:

Om figurens nummer är n har översta raden alltid n + 1 stycken prickar. Understa raden likaså.
Mittenraden har alltid n + 2 stycken prickar.
Addera.

Alternativt kan du titta på delmönstret
    o
o
    o

Det finns n + 1 stycken sådana i varje figur + en ensam prick till höger.

Tack. Men det förutser att jag kan se det själv, vilket jag inte kunde. Troligen kommer jag inte kunna se ett samband nästa gång heller, så hur kan jag göra då.

Om uppgiften var så här, skulle du inte se antal = n + 1 då heller?

Louis skrev:

Om uppgiften var så här, skulle du inte se antal = n + 1 då heller?

Det är svårt att säga nu när jag vet svaret, men jag hoppas det..

Jag kollade aldrig egentligen efter visuella samband utan försökte hitta en formel genom att räkna och jämföra dem med varandra eftersom det kändes mest korrekt.

I mitt förenklade exempel handlar det då om att jämföra

antal    2     3     4  med
n           1      2     3
med formeln antal = n+1.
Finns det exempel i din bok och är de i så fall visuella (med lite räknande) eller bara formelsökande?

Louis skrev:

I mitt förenklade exempel handlar det då om att jämföra

antal    2     3     4  med
n           1      2     3
med formeln antal = n+1.
Finns det exempel i din bok och är de i så fall visuella (med lite räknande) eller bara formelsökande?

Jo, jag förstår det.

Här är det enda exemplet som ges, som är busenkelt och kan inte användas till svårare uppgifter. Men dom verkar ju vilja att man ska skriva en tabell och se sambandet därifrån;

Där fanns överhuvudtaget inget visuellt mönster, bara instruktioner att översätta till algebra.

Av Kara96 fick du en algebraisk lösning på ditt problem, där bara avläsning av antalen och konstaterandet att de uppvisade en konstant ökning med 3 gav formeln.

Jag föreslog att titta lite mer på figuren men för att dela upp den så att formeln först blir (n+1)+(n+2)+(n+1).
Jag tycker inte att det är en sämre lösning.

I ditt tändsticksproblem ställde du upp tabellen:
n    antal
2    12 =  3*4
3    24 = 4*6
4    40 = 5*8
Här kan vi se att första faktorn är n+1 och den andra 2n vilket ger formeln 2n(n+1).
Inget visuellt, men förutsätter att vi faktoriserar lämpligt och sedan ser det jag just skrev.

Jag föreslog även här en visuell uppdelning av figurerna i liggande och stående stickor, där antalet i varje grupp enkelt kunde anges som n(n+1), summerat 2n(n+1).

Man kan väl säga att det visuella ger en bättre förståelse. Det är bara den vägen man ser idén bakom uppbyggnaden av figurerna och vad det är som förändras från figur till figur. Och är problemet givet i form av visuella figurer tycker jag att en visuell fortsättning är naturlig.

Ett återkommande problem här på Pluggakuten är det här mönstret eller varianter av det.

Visserligen ser man lätt när man räknar rutor att att antalen är kvadrater på figurnumren (1, 4, 9).
Men knepet att flytta om rutorna så att man faktiskt får kvadrater tycker jag är kul och belysande.
Alltså ett visuellt tillvägagångssätt.

Vad jag ville säga var att visuella metoder (som på någon punkt övergår i algebra) och rent algebraiskt räknande på summor kan komplettera varandra, men att man vinner åskådlighet med de förstnämnda.

Om du gör en sökning på "mönster" här på PA kan du hitta många olika exempel att studera och öva på.

Louis skrev:

Där fanns överhuvudtaget inget visuellt mönster, bara instruktioner att översätta till algebra.

Av Kara96 fick du en algebraisk lösning på ditt problem, där bara avläsning av antalen och konstaterandet att de uppvisade en konstant ökning med 3 gav formeln.

Jag föreslog att titta lite mer på figuren men för att dela upp den så att formeln först blir (n+1)+(n+2)+(n+1).
Jag tycker inte att det är en sämre lösning.

I ditt tändsticksproblem ställde du upp tabellen:
n    antal
2    12 =  3*4
3    24 = 4*6
4    40 = 5*8
Här kan vi se att första faktorn är n+1 och den andra 2n vilket ger formeln 2n(n+1).
Inget visuellt, men förutsätter att vi faktoriserar lämpligt och sedan ser det jag just skrev.

Jag föreslog även här en visuell uppdelning av figurerna i liggande och stående stickor, där antalet i varje grupp enkelt kunde anges som n(n+1), summerat 2n(n+1).

Man kan väl säga att det visuella ger en bättre förståelse. Det är bara den vägen man ser idén bakom uppbyggnaden av figurerna och vad det är som förändras från figur till figur. Och är problemet givet i form av visuella figurer tycker jag att en visuell fortsättning är naturlig.

Ett återkommande problem här på Pluggakuten är det här mönstret eller varianter av det.

Visserligen ser man lätt när man räknar rutor att att antalen är kvadrater på figurnumren (1, 4, 9).
Men knepet att flytta om rutorna så att man faktiskt får kvadrater tycker jag är kul och belysande.
Alltså ett visuellt tillvägagångssätt.

Vad jag ville säga var att visuella metoder (som på någon punkt övergår i algebra) och rent algebraiskt räknande på summor kan komplettera varandra, men att man vinner åskådlighet med de förstnämnda.

Om du gör en sökning på "mönster" här på PA kan du hitta många olika exempel att studera oc

h öva på.

Hej Louis,

Nej, precis.. boken är dålig med exempel. Eller rent utsagt usel.

Ja, men jag ser inte varför det ger den formeln. Visst, jag kan ta antalet × 3 + 4 så ser jag att det fungerar men hur kommer man fram till det? Tar man nuvarande antal minus ökningen och nummer på figuren? 13-3 = 10, 3×3 = 9. Då saknas det 1. 10-3 = 7, 2×3 är 6, alltså saknas det 1 osv.  Då har jag räknat mig till ett samband med hjälp av skillnaden mellan figurerna. Inte bara sett det. Så det är ju en metod i alla fall. 

Din lösning var bra Louis, jag försöker bara förstå problemet på alla tänkbara sätt innan jag går vidare med det.

Jag ritar upp väldigt mycket i mitt yrke för att kunna visualisera vad jag håller på med, annars blir det väldigt abstrakt många gånger. Så jag håller med dig. Men för att kunna förstå något fullt ut måste jag kunna tolka det på alla möjliga sätt.

Jag förstår problemet mycket bättre nu i alla fall.

Och tack för tipset :)

Hej Dkcre,

Bara några kommentarer till.

Med den visuella lösningen (n+1)+(n+2)+(n+1) betraktas inga skillnader mellan figurerna.
Tvärtom likheterna, att varje rads prickantal är figurnumret plus 1 eller 2.

Kara96 noterade att varje ny figur har 3 prickar fler än den föregående.
3n bör alltså finnas med i formeln. Kara96 antog att det dessutom måste finnas en konstant C och använde figur 2 med 10 prickar för ekvationen 10 = 3*2 + C som gav C=4.
Alltså en metod med mindre visuell granskning och mer algebra.

Den här uppgiften nyligen tyckte jag var lite rolig på det sättet att jag löste den på tre olika sätt med början i det krångligaste. Alltså det fattade jag inte då. Alla sätten var visuella. Vad jag menar är att vi är överens om att det där med att "se" inte är helt enkelt. Ger man figurerna tid upptäcker man nya sätt att se.

Louis skrev:

Hej Dkcre,

Bara några kommentarer till.

Med den visuella lösningen (n+1)+(n+2)+(n+1) betraktas inga skillnader mellan figurerna.
Tvärtom likheterna, att varje rads prickantal är figurnumret plus 1 eller 2.

Kara96 noterade att varje ny figur har 3 prickar fler än den föregående.
3n bör alltså finnas med i formeln. Kara96 antog att det dessutom måste finnas en konstant C och använde figur 2 med 10 prickar för ekvationen 10 = 3*2 + C som gav C=4.
Alltså en metod med mindre visuell granskning och mer algebra.

Den här uppgiften nyligen tyckte jag var lite rolig på det sättet att jag löste den på tre olika sätt med början i det krångligaste. Alltså det fattade jag inte då. Alla sätten var visuella. Vad jag menar är att vi är överens om att det där med att "se" inte är helt enkelt. Ger man figurerna tid upptäcker man nya sätt att se.

Jag kritiserar inte nu, utan försöker greppa det bara, om det är +3 per figur borde väl det tolkas som n+3 och inte 3n, dvs 3×n? Hur antar man att det ska tolkas som ×3?

Mellan varje figur blir det ju 3×2 i och för sig men..

Det var enkelt att lösa den där uppgiften nu i varje fall. Eller, mycket enklare i alla fall. Tack för hjälpen. Är glad över att jag blir bättre i alla fall.

om det är +3 per figur borde väl det tolkas som n+3 och inte 3n, dvs 3×n? Hur antar man att det ska tolkas som ×3?

Tänk på 3:ans multiplikationstabell. Ökar hela tiden med 3:   3*1, 3*2, 3*3, 3*n

n+3 betyder något annat. Följden 4, 5, 6, ... kan beskrivas så: 1+3, 2+3, 3+3, n+3

Däremot kan man skriva a_n = a_n-1 + 3 för antalen.

Att formeln är 3n + 4 eller 4 + 3n kan du också se om du tittar på den första figuren, n=1.
Du har
    o              o
o      o             o
    o              o

om jag drar isär figuren lite. 4 till vänster, 3 till höger: 4 + 3*1.
Sedan tillkommer ytterligare tre prickar för varje ny figur.
Du multiplicerar 3 med antalet gånger det tillkommit prickar (räknat från n=0)
I t ex den fjärde figuren har du 4 + 3*4 prickar.

Eller så här:

Här har jag markerat de konstanta 4 prickarna med rött och skilt de tillkommande tripplarna åt.
n stycken tripplar i varje figur: 3n prickar. 4+3n sammanlagt.
Ytterligare en visuell metod.

Louis skrev:

om det är +3 per figur borde väl det tolkas som n+3 och inte 3n, dvs 3×n? Hur antar man att det ska tolkas som ×3?

Du multiplicerar 3 med antalet gånger det tillkommit prickar (räknat från n=0)

I t ex den fjärde figuren har du 4 + 3*4 prickar.

Eller så här:

Vad du anstränger dig :) tack!

Det här är lite svaret jag var ute efter. Då förstår jag precis varför det är 3xn. Så enkelt.

Tack för hjälpen.