Beskriv banan och stabilisatorn

Hej

Jag behöver lite hjälp med att beskriva banan och stabilisatorn till följande uppgift:

Antag att H är en undergrupp i gruppen G

Fixera ett $g \in G$ . Beskriv banan $o r b_{H} (g)$ och stabilisatorn $H_{g}$

Jag har ett exempel där X är en mängd och G en grupp som verkar på mängden.

Som jag förstår så gäller det att ett element $x \in X$ sägs vara en fixpunkt till $g \in G$ om g.x=x

Då får vi fixpunktsmängden $X_{g} = \{x \in X | g . x = x\}$

och stabilisatorn till x som $G_{x} = \{g \in G | g . x = x\}$

Jag antar att det är tänkt att man ska se det som att H agerar på G genom vänstermultiplikation?

Då är $orb_H(g)$ alla de element i G som g kan mappas till av H. Detta är alltså mängden av alla element $g_1$ i $G$ som det finns något $h \in H$ sådant att $hg = g_1$ eller helt enkelt $Hg$ .

Sedan är $H_g$ alla de element i H som fixerar g. Kan du beskriva denna mängd bättre?

Det stämmer i svaret att vi får banan $o r b_{H} (g) = H_{g}$ sedan har vi då kvar att beskriva stabilisatorn. Jag hittade följande beskrivning: Banan utgörs av vänstersidoklasserna till H i G och stabilisatorn $H_{g}$ till ett godtyckligt element $g \in G$ är den triviala undergruppen $\{1_{G}\}$

Alltså får vi då att stabilisatorn är $\{1_{G}\}$

Då blir det ju ganska enkelt att hitta stabilisatorn om det alltid blir den triviala undergruppen, men jag ser inte riktigt hur vi vet att $H_{g}$ är samtliga vänstersidoklasser

Du måste vara försiktig med notationen, du verkar använda $H_g$ på två olika sätt?

Vart hittade du den där beskrivningen för banan?

Det är i detta speciella fall som stabilisatorn blir den triviala undergruppen, detta eftersom $h$ är den stabilisator om

$hg = g$

$hgg^{-1} = gg^{-1}$

$h = 1$

Så om h ska vara en stabilisator till g så måste det vara enhetselementet.

Svara

Visa senaste svar