beräkning med stokes sats.

det finns en uppgift i boken

"Låt $ζ$ beteckna skärningskurvan mellan ytan $z = x^{2} + y^{2},$ och planet $z = 1 + 2 x$ .
beräkna det arbete kraftfältet $F = (0, x, - y)$ uträttar då $ζ$ genomlöpa ett varv i positiv led kring z-axeln"

jag har utfört beräkningen enligt bilden nedan. jag får resultatet $\frac{6 π}{\sqrt{5}}$ men svaret i facit ska vara $6 π$

men det enda sättet jag kan se att jag kan få 6pi är genom att inte normera normalen till planet men man ska väl alltid normera normalen för Stokes sats? det har jag iaf gjort på alla andra uppgifter och fått rätt svar men inte här.

Den normering som ska används för $d\mathbf{S}=\mathbf{n}dudv$ till en yta som parametriseras av $\mathbf{r}(u,v)$ ges av

$\mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$

En vanlig parameterframställning är $\mathbf{r}(x,y)=\left(x,y,f(x,y)\right)$

Om man beräknar kryssprodukten får man normalen $\mathbf{n}=(-f^\prime_x, -f^\prime_y,1)$

I den här uppgiften kan man parametrisera i just $x,y$ och låta $z=f(x,y)=2x+1$ . Därmed är den korrekt normerade normalen till ytan $(-2,0,1)$

Det vektoriella ytelementet blir $d\mathbf{S}=(-2,0,1)dxdy$

Orsaken till att du fått rätt svar tidigare trots att du inte normerat "korrekt" kan vara att de flesta ytor i början har normaler parallella med någon av koordinataxlarna i rektangulära koordinatsystem och därmed är naturligt parametriserade med längden 1.

Svara