Beräkning med kongruenser

Ja, du kan inte beräkna 4^82, det är alldeles för stort, så du måste komma på dess rest utan att beräkna talet. Vad är 4^2? 4^3? 4^4? Ser du ett mönster?

Kan du hitta ett värde på x som gör att $4^x\equiv1$(mod 5)?

Vilken är entalssiffran i 109 ⋅ 3032? Vad är det ekvivalent med modulo 5?

Kom ihåg reglerna 

a+b (mod n)=a (mod n)+b(mod n)

$a·b(mod n)=a(mod n)·b(mod n)$

$a^m(mod n)={\left(a(mod n)\right)}^m$

$4^{82}+109·3032(mod 5)=\left[4^{82}(mod 5)\right]+\left[109·3032(mod 5)\right](mod 5)$

$4^{82}(mod 5)={16}^{41}(mod 5)=1^{41}(mod 5)=1(mod 5)$

$109·3032(mod 5)=109(mod 5)·3032(mod 5)=4(mod 5)·2(mod 5)=8(mod 5)=3(mod 5)$

$4^{82}+109·3032(mod 5)=1+3(mod 5)=4(mod 5)$