beräkning av vinkel mellan två vektorer som utgår från en liksidig triangel.

Hej, jag vet inte hur jag ska lösa följande uppgift.

Låt ABC vara en liksidig triangel med sidan a. Sätt $u = \vec{A B} och v = \vec{A C}$ . Bestäm vinkeln mellan

r= 2u+v och s= 3v-u.

Jag tänkte att man kunde använda formeln för skalärprodukt: $r \cdot s = |r| |s| \cos (θ)$ , men jag vet inte hur jag ska få fram vare sig r·s eller $|r| |s|$ ,

bara att $|u| = |v| = a$ .

Du kan multiplicera ihop parenteserna på det vanliga sättet för att få skalärprodukten. Vad är (2u+v)(3v-u)?

Jo, men även om jag vet att bägge sträckorna är lika med a så är de riktade och då vet ja inte om jag ska ta + eller - a.

Bry dig inte om a just nu. Utveckla (2u+v)(3v-u). Vad blir det?

6uv-uv

$u = (a, 0) v = (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{2}) r = 2 u + v = (2 a, 0) + (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{2}) s = 3 v - u = 3 (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{2}) - (a, 0) F ö r e n k l a s e n a n v ä n d r \cdot s = |r| |s| \cos (θ)$

William2001 skrev:
6uv-uv

Nej, du har tappat termer. Det blir $6u\cdot v-2u\cdot u+3v\cdot v-u\cdot v$ .

Laguna skrev:
William2001 skrev:
6uv-uv
Nej, du har tappat termer. Det blir $6u\cdot v-2u\cdot u+3v\cdot v-u\cdot v$ .

och sedan?

Sedan sätter du in det du vet om $u\cdot u$ , $u\cdot v$ och $v\cdot v$ .

Laguna skrev:
Sedan sätter du in det du vet om $u\cdot u$ , $u\cdot v$ och $v\cdot v$ .

Men bekymret är att jag bara vet absolutbeloppen och inte om a:na blir positiv eller negativa.

$r \cdot s = |r| |s| \cos θ ⋮ r = 2 u + v s = 3 v - u r \cdot s = (2 u + v) (3 v - u) = 6 u \cdot v - 2 u \cdot u + 3 v \cdot v - u \cdot v u \cdot u = |u| |u| \cos 0 = {|u|}^{2} 6 u \cdot v - 2 u \cdot u + 3 v \cdot v - u \cdot v = 6 u \cdot v - 2 {|u|}^{2} + 3 {|v|}^{2} - u \cdot v = 6 u \cdot v - 2 a^{2} + 3 a^{2} - u \cdot v = 6 u \cdot v + a^{2} - u \cdot v u \cdot v = |u| |v| \cos 60^{°} = a^{2} \frac{1}{2} 6 u \cdot v + a^{2} - u \cdot v = 6 a^{2} \frac{1}{2} + a^{2} - a^{2} \frac{1}{2} = \frac{7}{2} a^{2} r \cdot s = \frac{7}{2} a^{2} ⋮ r \cdot r = |r| |r| \cos 0 = {|r|}^{2} r \cdot r = (2 u + v) \cdot (2 u + v) = 4 {|u|}^{2} + 4 u \cdot v + {|v|}^{2} = 4 a^{2} + 4 * a^{2} \frac{1}{2} + a^{2} = 7 a^{2} {|r|}^{2} = 7 a^{2} - > | r | = \sqrt{7} | a | s \cdot s = (3 v - u) \cdot (3 v - u) = 9 {|v|}^{2} - 6 u \cdot v + 4 {|v|}^{2} = 9 a^{2} - 6 a^{2} \frac{1}{2} + 4 a^{2} = 7 a^{2} {|s|}^{2} = 7 a^{2} - > | s | = \sqrt{7} | a | ⋮ r \cdot s = |r| |s| \cos θ \frac{7}{2} a^{2} = \sqrt{7} | a | \sqrt{7} | a | \cos θ \cos θ = \frac{1}{2} θ = 60^{\circ}$

oneplusone2 skrev:
$r \cdot s = |r| |s| \cos θ ⋮ r = 2 u + v s = 3 v - u r \cdot s = (2 u + v) (3 v - u) = 6 u \cdot v - 2 u \cdot u + 3 v \cdot v - u \cdot v u \cdot u = |u| |u| \cos 0 = {|u|}^{2} 6 u \cdot v - 2 u \cdot u + 3 v \cdot v - u \cdot v = 6 u \cdot v - 2 {|u|}^{2} + 3 {|v|}^{2} - u \cdot v = 6 u \cdot v - 2 a^{2} + 3 a^{2} - u \cdot v = 6 u \cdot v + a^{2} - u \cdot v u \cdot v = |u| |v| \cos 60^{°} = a^{2} \frac{1}{2} 6 u \cdot v + a^{2} - u \cdot v = 6 a^{2} \frac{1}{2} + a^{2} - a^{2} \frac{1}{2} = \frac{7}{2} a^{2} r \cdot s = \frac{7}{2} a^{2} ⋮ r \cdot r = |r| |r| \cos 0 = {|r|}^{2} r \cdot r = (2 u + v) \cdot (2 u + v) = 4 {|u|}^{2} + 4 u \cdot v + {|v|}^{2} = 4 a^{2} + 4 * a^{2} \frac{1}{2} + a^{2} = 7 a^{2} {|r|}^{2} = 7 a^{2} - > | r | = \sqrt{7} | a | s \cdot s = (3 v - u) \cdot (3 v - u) = 9 {|v|}^{2} - 6 u \cdot v + 4 {|v|}^{2} = 9 a^{2} - 6 a^{2} \frac{1}{2} + 4 a^{2} = 7 a^{2} {|s|}^{2} = 7 a^{2} - > | s | = \sqrt{7} | a | ⋮ r \cdot s = |r| |s| \cos θ \frac{7}{2} a^{2} = \sqrt{7} | a | \sqrt{7} | a | \cos θ \cos θ = \frac{1}{2} θ = 60^{\circ}$

teckenfel i raden om s*s . påverkar dock inte lösningen )

Svara

Visa senaste svar