Beräkning av tröghetsmoment av cylinder

Har lite svårt att få fram $dV$ . Jag tänker att man kan uttrycka volymen av den "blåa cylindern" genom $V=L\pi \left(R^2-r^2 \right)$ , dvs volymen av hela cylindern med radie R minus den inre cylindern med radie r.

Hur får de fram att volymen av den blåa cylindern är $dV=L\left( 2 \pi r \right) dr$ ? Innanför parentesen har vi en omkrets. Förstår verkligen inte tänket när man ska beräkna volymselementet dV till integralen för tröghetsmoment.

Jag kan se att om vi låter $R^2-r^2=r^2$ så blir $\dfrac{dV}{dr}=L\left(2\pi r \right) \, \Rightarrow \, dV=L \left(2 \pi r \right) dr$ . Känns inte riktigt rätt att uttrycka $r^2$ på det viset.

Den blåa cylindern har den infinitesimala tjockleken $dr.$

Det här kan också göras utan integralräkning. Massan av en sådan ring ökar linjärt med avståndet till axeln, troghetsmomentet $mr^2$ ökar alltså med radien i kubik. Det gör (handwaving) att värdet blir halvt så stor som om hela massan hade befunnit sig vid cylinderns yta.

Svara