Beräkning av storheter med integraler

"Nettofunktionen" för uppladdningshastigheten borde väl se ut så här:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1.5 A/h, x<1 h\\ -0.468e^{-0.36(x-1)} A/h, x\ge 1 h\end{array}\right.$

Jag tror felet du gör är att du dels 1) inte tar hänsyn till uppladdningshastigheten innan den blev icke-konstant och dels 2) att du integrerade från 0 och inte 1.

Tillägg: 12 dec 2023 17:09

Jag antar att 

Under den första timmen då batteriet laddas håller sig laddningsströmmen konstant på 1,5 Ampere.

betyder att uppladningshastigheten är 1.5 A/h. Annars förstår jag inte texten.

Tillägg: 12 dec 2023 17:12

Tillägg 2: jag missförstod frågan helt och hållet. Ursäkta. Läste fel.

Du är intresserad av strömmen, inte hur strömmen ändras. Du vet hur den ändras och den börjar på 1.5A vid tiden 1 och är 0.4A vid tiden T. 

Du har di/dt och ska komma fram till vad I är vid tiden T

Om du har di/dt hur får du då fram I (glöm inte konstanten) 

Får jag inte reda på strömmen genom att ställa upp en integral som jag gjorde? Integralen ger mig väl strömmen och inte hur den ändras? Kan dock nu förstå om den nedra integrationsgränsen bör vara 1 samt att jag bör ta hänsyn till I,5 A på något mer sätt.  

Jag vet att en lösning är att ta fram den primitiva funktionen (genom insatta värden fås konstanten C) men undrar om det går att göra på nåt annat sätt. Tror nämligen inte att jag i provsituation kommer komma på att jag kan ta reda på den primitiva. 

Tänk dig en enklare situation. Du börjar med 1.5 A i en timme och sen sjunker strömmen med 0.1A /h, dvs di/dt = -0.1. Efter en timme har du 1.4 A efter 2 1.3 osv.. och efter 11 timmar har du 0.4A, dvs efter totalt 12 timmar har du 0.4A. Den primitiva funktionen var idet här fallet -0.1t + C och då räknas t från tiden då strömmen börjar sjunka. Det ger C = 1.5 så du sätter ekvationen 

0.4 = 1.5 -0.1 t -> t= 11 som i det lite längre resonemanget. 

I ditt fall är derivatan inte lika enkel så att resonera sig fram till det går inte sådär men lösningen med primitiv funktion fungerar alltid. Glöm bara inte att t börjar när en timme har gått som naytte beskrev i sitt första inlägg. 

Tillägg: Om du integrerar så får du enheten Ah vilket är en energienhet och det är du inte ute efter. 

En uppdatering av mitt förra inlägg nu när jag har tagit en liten tupplur:

Det som tidsderivatan av strömmen $\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}x}$ anger är så att säga momentanminskningen av strömmen. Du vet att denna motsvarar $\displaystyle −0.468e^{-0.36(x−1)} A/h$. Du vet att strömmen i början var 1.5 A. Frågan är du efter hur lång tid strömmen minskat till 0.4 A. Detta borde ges av följande ekvation:

$\displaystyle 1.5 A+\int_{1h}^{t}-0.468e^{-0.36(x-1)}A/h \;\mathrm{d}x=0.4A$

Förhoppningsvis skrev jag rätt nu. Men med tanke på mitt förra inlägg kan det mycket väl ha smugit sig in något tankefel. Någon annan får gärna godkänna mitt förslag.

Det verkar stämma. Detta ger rätt svar (hittade uppgiften på ett NP).

Vad härligt att det gick att lösa med integral, då var jag inte helt ute och cyklade i alla fall :)

Tack för all hjälp, förstår nu de misstagen jag gjorde.  

För att vara säker på att jag förstår:

Vad skulle hända om laddningsströmmen hölls konstans under 2 timmar istället för en?

Då hade den nedre integrationsgränsen varit 2. Men 1,5 hade varit samma, eller?

Ja. 

För att bekräfta att du förstår ordentligt, skulle du kunna förklara med ord vad termen 

$\displaystyle \int_{1h}^{t}-0.468e^{-0.36(x-1)}A/h \;\mathrm{d}x$

betyder?

Termen ger vad strömmen är efter t timmar med start från timme 1. 

Njae, inte riktigt. Integralen ger den totala förändringen av strömmen från och med x=1 h till och med x=t. Om du skriver om ekvationen lite får du:

$\displaystyle \int_{1h}^{t}-0.468e^{-0.36(x-1)}A/h\;\mathrm{d}x=-1.1A$

Som du vet blir ju strömmen aldrig negativ. Vi söker den tid som gör att förändringen av strömmen blir så negativ (att strömmen har minskat så mycket) att vi hamnar på strömmen 0.4 A om vi börjar på 1.5 A.

Tidsderivatan vi har fått tillgång till säger ju oss hur mycket strömmen minskar i varje tidspunkt per timme. Så i en viss punkt x=A minskar strömmen med a A/h, i någon punkt x=B med b A/h osv... Och detta förändras ständigt. Så då kan man fråga sig hur mycket strömmen har minskat totalt om man går från A till B. Det är det vi räknar ut med integralen ovan.

Man hade också kunnat göra så att man integrerar tidsderivatan, bestämmer konstanten C och sedan sätter funktionen lika med 0.4 A. Då får man:

$\displaystyle \int_{}^{}-0.468e^{-0.36(x-1)}A/h\;\mathrm{d}x = 1.86333 e^{-0.36x}+C$. Sedan bestämmer vi C till ca. 0.2 (eftersom I=1.5 A när x=1 h). Slutligen får vi alltså följande ekvation:

$\displaystyle (1.86333 e^{-0.36x}+0.2) A = 1.5 A$

Löser man detta får man att $x=6.2\;h$.

Det är dock viktigt att hålla tungan rätt i mun här. Vår funktion för strömmen gäller endast i intervallet $[1\;h,\infty )$.

Förstår du de båda sätten och varför det ena fallet ger en funktion för strömmen och varför den andra ger en förändring av strömmen?

Aha, så den primitiva funktionen ger en funktion på strömmen (i detta fall) medans en integral ger förändringen.

Ja, så kan man säga. Men en primitiv funktion beräknas ju också med en integral. Det kallas för en obestämd integral.

Den bestämda integralen i den här uppgiften är ju trots allt bara $F\left(t\right)-F(1 h)$, dvs. förändringen i den primitiva funktionen!

Tack för all hjälp!

Ingen orsak! 

Jag misstänker att du skriver NP snart och om så är fallet önskar jag ett stort lycka till!