Beräkning av optimala ytor till låda vid olika kostnader av yta beroende på bas, sida och lock.

Uppgiften lyder:

"Ett företag ska tillverka 100 000 små lådor med volymen 600cm^3. Lådorna ska ha formen av ett rätblock med kvadratisk basyta. Materialet till basytorna kostar 1000kr/m², till sidoytorna 600kr/m² och till locken 800kr/m². Vilka är de måtten som ger lägsta möjliga materialkostnad?"

Jag började med att uttrycka lådan som x för sidorna och h för höjden. Totala ytan beskrev jag då som 2x²+4hx = 0,6. Därefter härledde jag uttrycket till att beskriva h. // h= $\frac{0, 6}{4 x} - \frac{x}{2}$ // Därefter placerade jag in den med priserna per m².

Så först är uttrycket för priset detta:

f(x) = 800x²+1000x²+(600*4xh) //för att sedan substituera med h// = 1000x²+800x²+(600*4x( $\frac{0, 6}{4 x} - \frac{x}{2}$ )) = 1800x² -1200x²+360 = 600x²+360

Här kommer biten jag vet att jag gjort något fel. Jag anser att vid $f^{'} (x) = 0$ så är det minsta priset möjligt per låda, alltså minsta möjliga x för att få det bästa priset på sidorna samt bas och lock. Däremot får jag endast 1800x = 0 efter derivering, vilket inte stämmer då jag inte kan ha x = 0. Jag har hållit på med denna i 2h nu och kommer ingen vart.

Tack så mycket för hjälpen på förhand!

Hej! Ditt problem finns här:

Jag började med att uttrycka lådan som x för sidorna och h för höjden. Totala ytan beskrev jag då som 2x2+4hx = 0,6. Därefter härledde jag uttrycket till att beskriva h. // h=0,64x−x20,64x-x2//

Här säger du att den totala arean av alla sidor måste vara lika med 0,6. Det är inte det som är vårat krav, utan att volymen ska vara 600 cm³ (0,0006 m³). En bättre uträkning här vore alltså:

$x^{2} \times h = 0, 0006 h = \frac{0, 0006}{x^{2}} h = 0, 0006 x^{- 2}$

Det sista steget där brukar elever vara tveksamma på , men den regeln hittar du på formelbladet.

Detta nya h kan du nu stoppa in i din f(x), och arbeta vidare. I din f(x) har det även smugit sig in en 0:a för mycket, det ska vara 800x² + 100x² etc...

Hojta om du kör fast framåt!

Hej,

problemet finns dock kvar vid derivering av funktionen. Bör jag ta en annan väg?

Det fungerar för mig att derivera f(x), och sedan hitta en minimi-punkt där f'(x) = 0. Kan du visa hur du har deriverat? :)

Jag vetefan vad jag gjorde innan men nytt försök idag. Uttryckte h = 6*10^-4*x^-2 .

Skrev in f(x) = 600*4x(6*10-4*x-2)+1800x². Därefter fick jag fram att f(x) = $\frac{1, 44}{x}$ +1800x².

f prim (x) = -1,44*x^-2+3600x = 0

-1,44 = -3600x*x^-2

1,44x = 3600

x = 2500

Detta verkar också vara fel då jag får att $\sqrt{x^{2}} = \sqrt{2500^{2}} = 2500$ vilket är i kvadratmeter. 0,0006*2500² = 3750 vilket ger volymen 2,34375*10¹⁰m3. Det verkar som att jag virrar till det i antingen uttrycket av funktionen eller beräkningen. Jag skulle gissa på uttrycket.

Uttrycket, funktionen, och derivatan ser korrekt ut.

Ser nu att jag hade fel om den extra 0:an, det är ju helt korrekt med 1000 kr/m² för basplattan, sorry för den.

Ditt fel är här:

f prim (x) = -1,44*x-2+3600x = 0
-1,44 = -3600x*x-2

Vet inte riktigt hur det gick till, men det är inte korrekt. Här är hur du kommer vidare istället:

$f' (x) = - 1, 44 x^{- 2} + 3600 x f' (x) = \frac{- 1, 44}{x^{2}} + 3600 x f' (x) = 0 g e r \frac{- 1, 44}{x^{2}} + 3600 x = 0 3600 x = \frac{1, 44}{x^{2}} 3600 x^{3} = 1, 44$

Slutet får du göra själv ;)

viktorzenk skrev:
Uttrycket, funktionen, och derivatan ser korrekt ut.
Ser nu att jag hade fel om den extra 0:an, det är ju helt korrekt med 1000 kr/m² för basplattan, sorry för den.
Ditt fel är här:
f prim (x) = -1,44*x-2+3600x = 0
-1,44 = -3600x*x-2
Vet inte riktigt hur det gick till, men det är inte korrekt. Här är hur du kommer vidare istället:
$f' (x) = - 1, 44 x^{- 2} + 3600 x f' (x) = \frac{- 1, 44}{x^{2}} + 3600 x f' (x) = 0 g e r \frac{- 1, 44}{x^{2}} + 3600 x = 0 3600 x = \frac{1, 44}{x^{2}} 3600 x^{3} = 1, 44$
Slutet får du göra själv ;)

Åh men gud! Tack så mycket.

Svara

Visa senaste svar