Beräkning av naturliga logaritmer. Var gör jag fel?

Du är på rätt spår men slarvar lite.

sin3x=-1/2 $\cancel{\iff }$sin3x=-$\mathrm{\pi }$/6 men däremot sin3x=-1/2$\iff$3x=-$\mathrm{\pi }$/6. Det är det du skrivit på rad två, så det var nog bara ett slarvfel (men viktigt sådant) på rad ett.

Konventionen är väl annars att man går motsols i enhetscirkeln från, i det här fallet, 3x=0 tills man stöter på -1/2 på y-axeln. Detta sker första gången när 3x=7$\mathrm{\pi }$/6. Nästa gång det sker är när 3x=11$\mathrm{\pi }$/6, vilket man lite slarvigt kan säga är samma sak som din vinkel -$\mathrm{\pi }$/6. Det är dock inte samma vinkel eftersom de mäts åt olika håll.

Observera att du på rad tre inte har delat den andra termen med 3 som du avser göra, utan med 3x3=9.

Jvpm skrev:

Du är på rätt spår men slarvar lite.

sin3x=-1/2 $\cancel{\iff }$sin3x=-$\mathrm{\pi }$/6 men däremot sin3x=-1/2$\iff$3x=-$\mathrm{\pi }$/6. Det är det du skrivit på rad två, så det var nog bara ett slarvfel (men viktigt sådant) på rad ett.

Tack för rättningen!

Konventionen är väl annars att man går motsols i enhetscirkeln från, i det här fallet, 3x=0 tills man stöter på -1/2 på y-axeln. Detta sker första gången när 3x=7$\mathrm{\pi }$/6. Nästa gång det sker är när 3x=11$\mathrm{\pi }$/6, vilket man lite slarvigt kan säga är samma sak som din vinkel -$\mathrm{\pi }$/6. Det är dock inte samma vinkel eftersom de mäts åt olika håll.

Ok, negativt är motsols alltså. Hur tar man smidigt reda på detta, att man stöter på -1/2 på y-axel första gången när 3x = 7$\mathrm{\pi }$/6 exempelvis? Det är inte en punkt som känns bekant för mig. Hur tar man hjälp av standardvärdena? (Om det är vad man använder sig av)

Observera att du på rad tre inte har delat den andra termen med 3 som du avser göra, utan med 3x3=9.

Jasså, är inte -($\mathrm{\pi }$/6)/3 = -$\mathrm{\pi }$/18 = -(1/18)$\mathrm{\pi }$? 

Hjälpmigplugga skrev:

Jasså, är inte -($\mathrm{\pi }$/6)/3 = -$\mathrm{\pi }$/18 = -(1/18)$\mathrm{\pi }$? 

Jo, men nu var det den andra termen, dvs $k\cdot2\pi$, som du dividerat med 3 två gånger, se bild.

Du glömmer även den andra lösningen, nämligen $3x=\pi-(-\frac{\pi}{6})+k\cdot2\pi$.

Yngve skrev:

Hjälpmigplugga skrev:

Jasså, är inte -($\mathrm{\pi }$/6)/3 = -$\mathrm{\pi }$/18 = -(1/18)$\mathrm{\pi }$? 

Jo, men nu var det den andra termen, dvs $k\cdot2\pi$, som du dividerat med 3 två gånger, se bild.

Du glömmer även den andra lösningen, nämligen $3x=\pi-(-\frac{\pi}{6})+k\cdot2\pi$.

Ok, jag tänkte att både k och pi behövde divideras med tre. Jag hade istället kunnat skriva pi/2. Förstår jag dig rätt, att det räcker med att dividera en av produkterna i den termen? 

Och ja, den andra lösningen har jag ännu inte kommit till. Jag tänkte börja med att reda ut denna :)

Kolla gärna även föregående fråga i min tidigare kommentar, om du har tid. Tack för din generösa hjälp. 

Hjälpmigplugga skrev:

Ok, jag tänkte att både k och pi behövde divideras med tre. Jag hade istället kunnat skriva pi/2. Förstår jag dig rätt, att det räcker med att dividera en av produkterna i den termen? 

Du ska använda balansmetoden, dvs du ska dividera hela vänsterledet och hela högerledet med samma tal.

Du börjar med

$3x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi$

Om du nu dividerar med 3 så får du

$\frac{3x}{3}=\frac{-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi}{3}$

Efter förenkling av vänsterled och uppdelning av högerled på två bråk får du

$x=\frac{-\frac{\pi}{6}}{3}+\frac{k\cdot2\pi}{3}$

Blev det tydligare då?

Och ja, den andra lösningen har jag ännu inte kommit till. Jag tänkte börja med att reda ut denna :)

Kolla gärna även föregående fråga i min tidigare kommentar, om du har tid. Tack för din generösa hjälp. 

Om det gäller -1/2 och enhetscirkeln så gäller att vinkeln räknas moturs från den positiva horisontella axeln:

• Klockan 3 är 0 radianer
• Klockan 12 är pi/2 radianer
• Klockan 9 är pi radianer
• Klockan 6 är 3pi/2 radianer

Om du går åt andra hållet, dvs medurs, så blir vinklarna istället

• Klockan 3 är 0 radianer
• Klockan 6 är -pi/2 radianer
• Klockan 9 är -pi radianer
• Klockan 12 är -3pi/2 radianer

För att hitta lösningarna till sin(v) = -1/2 så kan du rita en horisontell linje på höjden -1/2. Denna linje skär enhetscirkeln i två punkter. En i kvadrant 3 och en i kvadrant 4. Om du nu ritar två radier i enhetscirkeln som träffar skärningspunkterna så har du dina lösningar i form av vinklarna till dessa två radier. Sedan finns såklart periodiciteten på 2pi med i lösningsmängderna.

De exakta värdena kan du hitta med hjälp av lite rätvinkliga trianglar i enhetscirkeln.

Ett återkommande tips när det gäller sådana här uppgifter är att alltid rita upp enhetscirkeln.

Jvpm skrev:

Du är på rätt spår men slarvar lite.

sin3x=-1/2 $\cancel{\iff }$sin3x=-$\mathrm{\pi }$/6 men däremot sin3x=-1/2$\iff$3x=-$\mathrm{\pi }$/6. Det är det du skrivit på rad två, så det var nog bara ett slarvfel (men viktigt sådant) på rad ett.

Konventionen är väl annars att man går motsols i enhetscirkeln från, i det här fallet, 3x=0 tills man stöter på -1/2 på y-axeln. Detta sker första gången när 3x=7$\mathrm{\pi }$/6. Nästa gång det sker är när 3x=11$\mathrm{\pi }$/6, vilket man lite slarvigt kan säga är samma sak som din vinkel -$\mathrm{\pi }$/6. Det är dock inte samma vinkel eftersom de mäts åt olika håll.

Observera att du på rad tre inte har delat den andra termen med 3 som du avser göra, utan med 3x3=9.

Nej det är inte ekvivalens ens där. Det är många alternativ på 3x som uppfyller att sin(3x)=-1/2 men till höger är det bara med ett alternativ. Så även om implikation till vänster gäller så gäller inte implikation till höger, och man har därför inte ekvivalens.