Beräkning av minsta möjliga fjäderkonstant (differentialekvation)

Hej!

Försöker lösa följande uppgift:

För en bil som precis kört på ett gupp gäller: $m a + b v + k x = 0$ , där m är bilens massa, b dämpningen i fjädrarna och k totala fjäderkonstanten för bilens fjädrar. Om bilens massa är 1000 kg och fjädrarnas dämpning 5500 Ns/m, vad är då den maximala fjäderkonstanten man kan ha utan att bilen börjar gunga vid gupp?

Eftersom accelerationen är derivatan av hastigheten innebär det att $a = v'$ och eftersom $v = x'$ ger detta den karaktäristiska ekvationen:

$1000 x'' + 5500 x' + k x = 0$

Ekvationen kan sedan skrivas om enligt:

$1000 r^{2} + 5500 r + k = 0$

$r^{2} + 5, 5 r + \frac{k}{1000} = 0$

$r = - \frac{5, 5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{5, 5}{2})}^{2} - \frac{k}{1000}}$

Har jag tänkt rätt så här långt? Vill ju förmodligen lösa ut k, men vet inte hur jag lämpligast går vidare.

Tips uppskattas! :)

/Chrisrs

Du ska då lösa den karaktäristiska ekvationen

m*r^2 + b*r + k = 0

På några rader har du satt in värden på de kända konstanterna och på andra inte.

Beroende på värdet på den okända konstanten k så kan du få två reella rötter, en dubbelrot eller två komplexa rötter. Vilken typ av rot ger svängningar?

Okej, nu när du fått fram rötterna av den karakteristiska ekvationen, vad gäller för differentialekvationen då? Jo, differentialekvationens allmänna lösning ges av

$x (y) = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x} .$

Vilka fler villkor kan du ta fram ur uppgiften som måste gälla?

Dr. G skrev :
Du ska då lösa den karaktäristiska ekvationen
m*r^2 + b*r + k = 0
På några rader har du satt in värden på de kända konstanterna och på andra inte.
Beroende på värdet på den okända konstanten k så kan du få två reella rötter, en dubbelrot eller två komplexa rötter. Vilken typ av rot ger svängningar?

Tack för svar! Jo, det blev lite knasigt i mitt första inlägg. Komplexa rötter ger svängningar, vilket isåfall tyder på att systemet är underdämpat. Alltså är ju endast de reella rötterna intressanta i detta fallet.

Jag får fram följande allmänna lösning:

$x (y) = A e^{(- 2.75 + \sqrt{2 . 75^{2} - \frac{k}{1000})} x} + B e^{(- 2.75 - \sqrt{2 . 75^{2} - \frac{k}{1000}}) x}$

Vet dock inte hur jag går vidare i och med att konstanten k är okänd.

Jag fann att den kritiska dämpningen i ett fjädersystem ges av $\frac{b^{2}}{4} = m k$ , så k ges då rimligen av $\frac{b^{2}}{4 * m} = k$ . Alltså $k = \frac{5500^{2}}{4 * 1000} = 7562, 5 N / m$ . Men det är ju inte rätt tillvägagångsätt...

Det räcker för dig att titta på för vilka $k$ som rot uttrycket $\sqrt{{(- \frac{11}{4})}^{2} - \frac{k}{1000}} \geq 0$ , ty endast dessa värden ger reella rötter till karakteristiska ekvationen. Den maximala fjäderkonstanten bör alltså vara den som uppfyller ekvationen

${(- \frac{11}{4})}^{2} - \frac{k}{1000} = 0 .$

Lirim.K skrev :
Det räcker för dig att titta på för vilka $k$ som rot uttrycket $\sqrt{{(- \frac{11}{4})}^{2} - \frac{k}{1000}} \geq 0$ , ty endast dessa värden ger reella rötter till karakteristiska ekvationen. Den maximala fjäderkonstanten bör alltså vara den som uppfyller ekvationen

${(- \frac{11}{4})}^{2} - \frac{k}{1000} = 0 .$

Stort tack Lirim, då förstår jag! Det var ju faktiskt väldigt logiskt. :) Den minsta möjliga fjäderkonstanten är då alltså k = 7562,5 N/m?

Precis, för om du går under det, t.ex. om k = 7262,0 N/m så inser du att r1 och r2 blir imaginära tal som medför svängningar, men vi vill ju ha dämpning.

Svara

Visa senaste svar