Beräkning av kvadratrot i division

Hur ska man lösa uppgiften, utan att använda miniräknare. Jag vet att roten ur negativ av 5 och 7 finns täljaren och roten ur av 5 och 7 finns i nämnaren, då det måste finnas något samband mellan de. Roten ur av 4 blir också plus och minus två i täljaren, då -2 finns också i nämnaren.

Jag blir rätt så konfunderad av uppgiften själv.

Pröva att kvadrera kvoten; kanske kan man då göra några förenklingar som gör att man kan bli av med en del termer.

Det går att skriva om. Jag visar på första termen.

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2 (3 - \sqrt{5)}}{2}} = \sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 + 1 - 2 \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5})^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}}{2}}$

Jämför med (a-b)²=a²+b²-2ab så ser du att du kan skriva om

$\sqrt{\frac{{(\sqrt{5})}^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}}$

Puh. Samma sak för andra termen blir

$\sqrt{4 - \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{2}}$

Adderar termerna (i nämnaren) får man

$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7} - 2}{\sqrt{2}}$

Så hela uttrycket blir:

$\frac{\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}}}{\sqrt{5} + \sqrt{7} - 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7} - 2}{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{7} - 2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Detta känns spontant lite klurigt för att vara matte 1. Så det finns kanske någon regel som jag inte kommer på som skulle göra detta lättare.

Om "Time 90s" betyder att man skall lösa det på 90 sekunder måste det finnas någon smart regel eller så får man skriva snabbt!

Svara