Beräkning av gränsvärde

Hej!

Jag vet inte om detta är rätt tänkt.

Vi har $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x\right)}{x}=1$.

Om jag antar att $x = 2y$ (2)

så erhålls följande ekvation $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{h\left(2y\right)}{2y}=1$ -( Märk här att om $x\to 0$ så medför $y\to 0$ då x = 2y)

tyvärr fortfarande inte

Om du testar att byta ut h mot en annan funktion som beter sig liknande, tex sin x, hur hade du löst det då?

Lim x-->0 sin2x/sin3x?

Kan du använda samma metod på h?

Är du med på att

h(y)/y går mot 1 när y går mot 0?

h(2x)/(2x) går mot 1 när x går mot 0?

h(3x)/(3x) går mot ... när x går mot 0?

så att sin2x / sin 3x går mot 2/3 när x går mot noll?

Mitt tips är att förlänga med $6x$. Då kan vi omvandla till två gränsvärden på formen $h(t)/t$:

$\dfrac{h(2x)}{h(3x)}=\dfrac{h(2x)}{h(3x)}\cdot\dfrac{6x}{6x}=\dfrac{h(2x)}{3\cdot2x}\cdot\dfrac{2\cdot3x}{h(3x)}$

$=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{h(2x)}{2x}\cdot\dfrac{3x}{h(3x)}$

Nu behöver man enbart det givna gränsvärdet för att räkna ut det sökta gränsvärdet. Tänk dock på att verkligen försöka motivera varför varje steg i din gränsvärdesberäkning gäller.