Beräkning av en integral

Hej och välko men till Pluggakuten!

Om $du=2x$ $dx$ så är $dx=\frac{du}{2x}$ och du kan då alltså inte bara byta ut $dx$ mot $du$ rakt av.

Ska integralen se ut såhär då:$\int \frac{1}{\sqrt{u}}\times \frac{1}{2}du$ ? 

Nej du saknar fortfarande faktorn x.

Eftersom $dx=\frac{du}{2x}$ så blir $\frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{du}{2x\sqrt{x^2+16}}=\frac{du}{2x\sqrt{u}}$

Om vi nu har att $u = x^2+16$ så är ju $x=\pm\sqrt{u-16}$ och integranden blir då $\frac{du}{\pm2\sqrt{u-16}\sqrt{u}}$, vilket inte heller är så lätt att integrera.

Pröva istället någon substitution med tangens.

Hur skulle man beräkna med en tangens istället ?

x = tan(u)

$\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+16}}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1+(\dfrac{x}{4})^2}}=(u=x/4)=$

$=\displaystyle\int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}$

Med detta variabelbyte blir

$\displaystyle\int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\int\dfrac{d\theta}{\cos\theta}$.

Kan du fortsätta själv?

Jag förstår inte riktigt hur man kommer fram till variabelbytet, skulle du kunna förklara det steget igen?

Tack på förhand 

Laguna skrev:

x = tan(u)

Jag glömde att det stod 16 under roten, så det blir x = 4tan(u) i stället, men dr_lunds svar är bättre.

Integraler som innehåller uttryck av typen $\sqrt{1+u^2}$ behandlas oftast med ett variabelbyte enligt min senaste replik.

Notera hjälptriangeln: $\tan\theta=\dfrac{u}{1}$, med lite trigonometri i rätvinkliga trianglar.

EDIT Fel i uttrycket för du: Ska vara $du=\dfrac{d\theta}{\cos ^2\theta}$. Ursäkta.

Tack för hjälpen,